Последовательности и прогрессии - задания и теория для подготовки к ЕГЭ

Задание с развернутым ответом

Выполните его и проверьте ответ по критериям ФИПИ

Последовательность a_1,\,a_2,\,\dots,\,a_n (n\ge3) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.

б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 10?

Решение.

а) Например, последовательность 1; 12; 17; 20 удовлетворяет условию задачи, а сумма её членов равна 50.

б) Например, последовательность 1; 12; 20; 20; 12; 1 удовлетворяет условию задачи.

в) Для 2 ≤ k ≤ 9 выполнено неравенство

\dfrac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2} \lt a_k \Leftrightarrow

a_{k-1}+a_{k+1}\lt 2a_k \Leftrightarrow

a_{k+1}-a_k \lt a_k - a_{k-1}.

То есть последовательность разностей соседних членов последовательности убывает.

Пусть d_k = a_{k+1} -a_k. Тогда

d_k ≤ d_{k-1} - 1 ≤ d_{k-2} - 2 ≤ ... ≤ d_1 -k + 1;

a_1 = a_k-d_{k-1} - ... -d_1 \le a_k-(d_k+1)-...-(d_k+k- 1) = a_k-(k- 1)d_k-\dfrac{k(k-1)}{2};

a_{10} = a_k + d_k + ... + d_9 ≤ a_k + d_k + (d_k -1) + ... + (d_k - 9 + k) =

=a_k+(10-k)d_k-\dfrac{(9-k)(10-k)}{2}.

Заметим, что a_1 \ge 1 и a_{10} ≥ 1, откуда

a_k-(k-1)d_k - \dfrac{k(k-1)}{2} ≥ 1,

a_k + (10-k)d_k -\dfrac{(9-k)(10-k)}{2} ≥ 1.

Умножив первое неравенство на 10-k, а второе на k- 1 и сложив их, получаем:

9a_k - \dfrac{9(k-1)(10-k)}{2} \ge 9 \Leftrightarrow

a_k \ge \dfrac{(k-1)(10-k)}{2}+1

Таким образом, a_1 ≥ 1, a_2\ge 5, a_3 \ge 8, a_4 \ge 10, a_5 \ge 11, a_6 ≥11, a_7 \ge 10, a_8 ≥ 8, a_9 ≥ 5, a_{10} ≥ 1, а их сумма не меньше 70.

Последовательность 1; 5; 8; 10; 11; 11; 10; 8; 5; 1 удовлетворяет условию задачи, а сумма её членов равна 70.

Ответ: а) например, 1; 12; 17; 20; б) да; в) 70.

Последовательность a_1,\,a_2,\,\dots,\,a_7 состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть M_k — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что M_1 = 1, M_2 = 2.

а) приведите пример такой последовательности, для которой M_3 = 1,5.

б) существует ли такая последовательность, для которой M_3 = 3?

в) Найдите наибольшее возможное значение M_3.

Решение.

а) Например, последовательность 6, 0, 3, 1, 1, 1, 0 удовлетворяет условию задачи.

б) Если М_1 = 1, М_3 = 3, получаем:

a_1 + a_2 + a_4 +a_5 +a_6 +a_7 = 18,

a_2 + a_3 + a_4 +a_5+ a_6 + a_7 = 6,

откуда а_1- а_3 = 12, что невозможно. Значит, не существует такой последовательности, для которой М_3 = 3.

в) Поскольку М_1 = 1, получаем:

a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 6,

а так как a_1 - а_3 \le 9, получаем:

a_1 + a_2 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 ≤ 15,

то есть М_3 \le 2,5.

В последовательности 9, 3, 0, 1, 1, 1, 0 имеем:

M_1 = 1, M_2 = 2, M_3 = 2,5.

Ответ: а) например, 6, 0, 3, 1, 1, 1, 0; б) нет; в) 2,5.

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n\ge 3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 13?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 500?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 57.

Решение.

а) Нет. S=\dfrac{2n_1+d(n-1)}{2}\cdot n. Если известно, что S = 13, то (2n_1 + d(n - 1)) \cdot n = 26. Заметим, что 26 = 13 \cdot 2, так как n \ge 3, n = 13 или n = 26. Но сумма 13-ти различных натуральных чисел больше 13.

б) Так как все данные n чисел натуральные, то наименьшее из них больше или равно 1, а поскольку все эти числа различны (отличаются друг от друга не менее, чем на 1), то их сумма S не меньше суммы 1+2 + 3 +...+n, то есть S ≥ \dfrac{n(n+1)}{2}.

Если известно, что S \lt 500, то из неравенства \dfrac{n(n+1)}{2} ≤ S следует, что \dfrac{n(n+1)}{2} ≤ 500, n(n + 1) \lt 1000, откуда n \lt 32 (при n \ge 32 имеем: n (n + 1) = 32 \cdot 33 \gt 1000). При n = 31 имеем: n (n + 1) = 31 \cdot 32 \lt 1000, натуральные числа от 1 до 31 (без пропусков) составляют арифметическую прогрессию, их количество равно 31, а сумма меньше 500. Таким образом, наибольшее возможное значение n в пункте б) равно 31.

в) Пусть a_1 — наименьшее из данных n чисел, образующих арифметическую прогрессию, d — разность этой прогрессии. Тогда по известной формуле сумма этих n чисел равна \dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n. Если известно, что сумма данных n чисел равна 57, то (2a_1 +d(n- 1))\cdot n = 114. Заметим, что 114 = 2\cdot 3\cdot 19 и n — один из делителей числа 114.

Так как n ≥ 3, то возможные значения n = 3, 6, 19, 38, 57 и 114. Исходя из неравенства n \cdot (n + 1) ≤ 114, получим, что n \le 10.

При n = 3 получаем равенство a_1 +d= 19, которое выполняются, например, при a_1 = 1, d = 18. Прогрессия 1; 19; 37 состоит из 3 членов, сумма равна 57.

При n = 6 получаем равенство 2a_1+5d=19. которое выполняются при a_1 = 2, d = 3. Прогрессия 2, 5, 8, 11, 14, 17 состоит из 6 членов, сумма равна 57.

Ответ: а) нет; б) 31; в) 3,6.

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Решение.

а) Например, 2, 3. Разность квадрата суммы и суммы квадратов этих чисел равна 25-13=12. Если добавить число 4, то разность будет равна 81-29=52, что ровно на 40 больше, чем было.

б) Обозначим члены прогрессии a_1, a_2, ..., a_n. Тогда разность, вычисленная математиком в первый раз, равна

(a_1 + a_2 + ... +a_n)^2-a_1^2-a_2^2-...-a_n^2=2a_n (a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})+ 2a_{n-1} (a_1 + a_2 + ... +a_{n-2}) + ... + 2a_2a_1.

Когда к прогрессии добавили член a_{n+1}, то вычисленная во второй раз разность отличается от первой дополнительным слагаемым

2a_{n+1}(a_1+a_2+ ... +a_n)=2(a_1+nd) \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}n=(a_1+nd)(2a_1+(n-1)d)n

, где d — разность прогрессии.

Из условия следует, что a_1 \ge 0 и d \ge 1, поэтому

(a_1+nd)(2a_1+(n-1)d)n^2(n-1).

Получаем неравенство n^2(n-1) \le 1768,

откуда n\le12. Значит, 13 членов начальной прогрессии быть не может.

в) Из равенства (a_1+nd)(2a_1+(n-1)d)n=1768 следует, что n является делителем числа 1768=2\cdot2\cdot2\cdot13\cdot17. Наибольший делитель, меньший 13, равен 8. При n=8 получаем

(a_1+8d)(2a_1+7d)=221.

Если d \ge 2, то левая часть не меньше, чем 56d^2 \ge 56\cdot 4=224\gt221. Следовательно, d=1. Получаем уравнение 2a_1^2+23a_1-165=0, которое имеет единственный натуральный корень 5. Значит, прогрессия из восьми чисел 5, 6, 7, ..., 12 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а) 2, 3; б) нет; в) 8.