Числовые наборы на карточках и досках - задания и теория для подготовки к ЕГЭ

Задание с развернутым ответом

Выполните его и проверьте ответ по критериям ФИПИ

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.

б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

а) Если на доске будет по 15 чисел, оканчивающихся на 2 и на 6, то сумма всех чисел будет оканчиваться на 0, что противоречит условию.

б) Если на доске 29 чисел, оканчивающихся на 2, то их сумма больше либо равна

2+12+22+\ldots +282=\dfrac{(2+282)\cdot 29}{2}=4118.

в) Пусть на доске n чисел, оканчивающихся на 6, и 30-n чисел, оканчивающихся на 2.

Сумма чисел, оканчивающихся на 6, не меньше суммы 6+16+26+\ldots +(6+10(n-1))=\dfrac{(12+10(n-1))n}{2}=5n^2+n

Сумма чисел, оканчивающихся на 2, не меньше суммы 2+12+22+\ldots +(2+10(29-n))=\dfrac{(4+10(29-n))(30-n)}{2}=5n^2-297n+4410

5n^2+n+5n^2-297n+4410\le 2454 \Rightarrow n\ge 10.

При n=10 сумма чисел оканчивается на 0, не подходит.

При n=11 сумма чисел оканчивается на 4, пример набора:

6;\ 16;\ \ldots ;\ 86;\ 96;\ 196;\ 2;\ 12;\ 22;\ \ldots ;\ 172;\ 182.

Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

Решение.

Обозначим суммы чисел в группах S_1, S_2, S_3, S_4 а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через A. Можно считать, что S_1 ≤ S_2 ≤ S_3 ≤ S_4.

а) Чтобы число A равнялось 0, необходимо, чтобы каждая из разностей S_i - S_j равнялась 0, то есть S_1 = S_2 = S_3 = S_4. Сумма всех двадцати чисел 1+2 + ...+ 19 + 20 = \dfrac{20\cdot 21}{2}=210. С другой стороны, она равна S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 4S_1, но 210 не делится на 4. Значит, A ≠ 0.

б) Чтобы число A равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности S_i-S_j равнялись 0. Значит, S_1 \lt S_4, но в этом случае каждая из сумм S_2, S_3 не равна хотя бы одной из сумм S_1, S_4 поэтому хотя бы три разности S_i - S_j не равны 0 и число A не меньше 3. Значит, A ≠ 1.

в) Выразим число A явно через S_1, S_2, S_3, 5_4:

А = (S_2-S_1) + (S_3-S_1) + (S_4-S_1) + (S_3-S_2) + (S_4-S_2) + (S_4-S_3) = 3(S_4-S_3)+4(S_3-S_2) + 3(S_2-S

В предыдущих пунктах было показано, что A \ge 3. Если A = 3, то S_1 = S_2 = S_3 = S_4 - 1 или S_4 = S_2 = S_3 = S_1 + 1. В этом случае сумма всех двадцати чисел равна 4S_1 + 1 или 4S_4 - 1, то есть нечётна, что неверно.

Для следующего разбиения чисел на группы: 20; 19; 13; 18; 17; 9; 8; 16; 15; 14; 5; 3; 12; 11; 10; 7; 6; 4; 2; 1 — число A равно 4.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

На доске написано n чисел a_i (i = 1;\ 2;\ldots ;\ n), каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из чисел a_i\ (1\le i\le n) уменьшили на r_i\% соответственно. При этом для каждого i\ (1\le i\le n) либо r_i = 2, либо число a_i уменьшилось на 2.

а) Может ли среднее арифметическое чисел r_1,\ r_2,\ldots,\ r_n быть равным 5?

б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел r_1,\ r_2,\ldots,\ r_n больше 2, при этом сумма чисел a_1,\ a_2,\ldots,\ a_n уменьшилась более чем на 2n?

в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел r_1,\ r_2,\ldots,\ r_{30}.

Решение.

а) Пусть число а_i уменьшили на 2. Тогда его уменьшили на \dfrac{2}{a_i} \cdot 100= \dfrac{200}{a_i}\%.

Следовательно, r_i =\dfrac{200}{a_i}. Так как a_i \ge 50 для всех i, то r_i ≤4 и их среднее арифметическое также не превосходит 4. Поэтому оно не может равняться 5.

б) Рассмотрим два числа: 50 и 150. Если число 50 уменьшить на 2 (т. е. на 4\%), а число 150 уменьшить на 2\% (то есть на 3), то r_1=4 и r_2 = 2. Их среднее арифметическое равно 3, что больше 2. При этом сумма чисел уменьшилась на 5, что больше, чем 2n = 4.

в) Пусть k чисел из 30 уменьшили на 2, а остальные 30- k уменьшили на 2\%. Так как каждое число не меньше 50, каждое из чисел уменьшили по крайней мере на 1 (2\% от 50 равно 1). Таким образом, сумму всех 30-и чисел уменьшили по крайней мере на 2k + 30 - k = k + 30. По условию, сумму уменьшили ровно на 40. Следовательно, k + 30 \le 40, откуда k \le 10.

Напомним, что если число a_i уменьшили на 2, то его уменьшили на r_i = \dfrac{200}{a_i}\%;

и так как a_i \ge 50, то r_i ≤ 4. Значит,

\dfrac{t_1 + \cdot \cdot \cdot + r_{30}}{30} \le \dfrac{4k + 2(30-k)}{30} = \dfrac{2k + 60}{30} \le \dfrac{2 \cdot 10 + 60}{30} = \dfrac{8}{3}.

Приведём пример набора из 30 чисел, для которого среднее арифметическое чисел r_1,...,r_{30} равно \dfrac{8}{3}. Пусть все числа равны 50, и пусть 10 из этих чисел уменьшили на 2 (т. е. на 4\%), а каждое из оставшихся 20-ти чисел уменьшили на 2\%. Тогда

\dfrac{r_1+\cdot \cdot \cdot+ r_{30}}{30}= \dfrac{10\cdot4 + 20\cdot2}{30} = \dfrac{8}{3}.

Ответ: а) нет; б) да; в) \dfrac{8}{3}.

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, среднее арифметическое чисел во второй группе равно B. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше \dfrac{A+B}2.

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно \dfrac{A+B}2.

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения \dfrac{A+B}2.

Решение.

а) Среднее арифметическое всех чисел равно 4. Разобьём исходные числа на две группы: в первой группе все «5», во второй — все «3» и «4». Тогда

A = 5; B = \dfrac{ 30 + 40}{20} = 3,5; \dfrac{А + В}{2} =4,25 \gt 4.

б) Пусть числа разбиты на две группы по 15 чисел в каждой; сумма чисел в первой группе равна S_1, а во второй группе — S_2 Тогда

A = \dfrac{S_1}{15}, B = \dfrac{S_2}{15}, \dfrac{A + B}{2} = \dfrac{\frac{S_1}{15}+\frac{S_2}{15}}{2} = \dfrac{S_1+S_2}{30} .

что равно среднему арифметическому всех чисел.

в) Если в каждой из двух групп количество «3» равно количеству «5», то

A=B = 4 и \dfrac{A+B}{2} = 4.

В противоположном случае в одной из групп количество «3» больше количества «5». Значит, среднее арифметическое чисел в этой группе меньше 4. Можно считать, что это верная группа. Среди дробей, меньших 4, знаменатель которых не превосходит 29, наибольшая дробь — это 3 \dfrac{28}{29}, то есть А не превосходит 3 \dfrac{28}{29}.

Очевидно, что В не может быть больше 5. Значит,

\dfrac{А + В}{2} \le \dfrac{3\frac{28}{29}+5}{2}=4\dfrac{14}{29}

Если в одной группе одна «5», а в другой все остальные числа, то

c 28 А + В 14

А = 5; В = 3 \dfrac{28}{29}; \dfrac{A+B}{2}= 4\dfrac{14}{29}.

Ответ: а) например, в первой группе все «5», во второй — все «3» и «4»; в) 4\dfrac{14}{29}.