Задание 18 ЕГЭ профиль [2025]: Использование монотонности, оценок

Задание с развернутым ответом

Выполните его и проверьте ответ по критериям ФИПИ

Найдите все значения параметра a, при которых для любого действительного x выполнено неравенство

|3\sin x+a^2-22|+|7\sin x+a+12|\le

\le 11\sin x +|a^2+a-20|+11.

Пусть t = \sin x, тогда неравенство запишется в виде

|3t + a^2-22| + |7t+a + 12| ≤ 11t + |a^2 + a- 20| + 11.

Поскольку - 1 ≤ \sin x ≤ 1, нам требуется найти все значения а, при которых неравенство выполнено при - 1 ≤ t \le 1.

Рассмотрим функции f(t) = |3t + a^2-22| + |7t+a+12| и g(t) = 11t + |a^2 + a-20| + 11. Функция f(t) — кусочно-линейная. Угловой коэффициент её звеньев не превосходит 10. Функция g(t) — линейная функция с угловым коэффициентом 11. Значит, функция g(t) – f(t) возрастающая. Таким образом, если неравенство f(t) ≤ g(t) выполнено при t = -1, то оно выполнено при t \ge -1.

При t = -1 неравенство принимает вид

|a^2-25| + |a + 5| ≤ |a^2 + a-20| \Leftrightarrow

|a + 5| \cdot (|a-4| - |a-5| - 1) ≥ 0.

Выражение |a + 5| равно 0 при а = -5 и больше при 0 при других значениях а. Выражение |a - 4| - |a - 5| - 1 при а \ge 5 равно 0, при 4 \lt а \lt 5 принимает вид 2a-10, при a ≤ 4 равно -2. Таким образом, неравенство |a + 5| \cdot (|a-4| - |a-5| - 1) ≥ 0 выполнено при а = -5; а \ge 5.

Ответ: \{-5\}\cup [5; +∞).

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

\sin ^{14}x +(a-3\sin x)^7+\sin ^2 x+a=3\sin x

имеет хотя бы одно решение.

Запишем уравнение в виде:

\sin^{14}x+ \sin^2x = (3\sin x-a)^7 + (3\sin x- а).

Рассмотрим функцию f(t)=t^7 +t. Она является суммой двух возрастающих функций и поэтому возрастает. Исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда f(\sin^2x) = f(3\sin x-а), откуда получаем

\sin^2x = 3\sin x-a \Leftrightarrow а = 3\sin x- \sin^2x.

Функция y = \sin x принимает значения от - 1 до 1, а функция z = 3y-y^2 монотонно возрастает на отрезке [-1, 1] и принимает на нём значения от -4 до 2. Значит, уравнение а = 3\sin x- \sin^2x, а с ним и исходное уравнение имеют решение при - 4 \lt a ≤ 2.

Ответ: [-4,2].

Найди все значения параметра a, для каждого из которых уравнение

27x^6+(3a-4x)^3+3x^2+3a=4x

имеет хотя бы один корень.

27x^6+3x^2=(4x-3a)^3+4x-3a

f(t)=t^3+t;\ f(3x^2)=f(4x-3a)

f(t) монотонно возрастает, значит,

f(3x^2)=f(4x-3a)\Leftrightarrow 3x^2=4x-3a

3x^2-4x+3a=0

D_1=4-9a\ge0

a\le \dfrac49

Ответ:

a\le \dfrac49.

Найди все значения параметра a, для каждого из которых уравнение

\cos ^{18}x+(5\cos x-a)^9+\cos ^2x+5\cos x=a

имеет хотя бы один корень.

f(t)=t^9+t — монотонно возрастает

f(\cos ^{2}x)=f(a-5\cos x)\Leftrightarrow \cos ^{2}x=a-5\cos x

Ответ:

a\in[-4;\ 6].

Как пользоваться тренажёром

Инструкция

Сперва выберите предмет: обществознание, русский язык, базовую или профильную математику. Далее — формат. Это могут быть задания по конкретной теме или полноценный пробный экзамен со всеми типами заданий и темами по кодификатору.

Первое поможет тогда, когда надо отточить задания лишь по нескольким разделам программы. Выполнять весь тест для этого не нужно. Вместо этого можно выбрать раздел и темы внутри него, чтобы отработать все типы заданий, которые могут попасться на экзамене.

Переключаться между ними можно через кнопку Следующий тип заданий в теме.

Если же остановиться на пробном экзамене, можно будет выбрать один из нескольких вариантов. Далее тренажёр ознакомит вас со всеми условиями пробника: сколько будет заданий и какого типа, что понадобится для выполнения.

Обратите внимание: пробный экзамен в тренажёре повторяет условия реального. А значит, это работа на время, которое будет отсчитывать таймер. Если нужно, во время работы можно будет поставить таймер на паузу. Пока она активна, все задания на экране будут скрыты.

В начале пробника всегда будет инструкция. Она напомнит, какие бывают типы заданий в ЕГЭ, чем они отличаются. А также научит добавлять ответы в тренажёр, чтобы тот правильно их обработал.

Слева — все задания пробника по порядку. Их можно переключать здесь же или нажатием кнопки Следующее задание. Как и на реальном экзамене, задания можно выполнять по очереди или в произвольном порядке. С последним помогут кнопки Показать следующие и Показать предыдущие.

Если задание даётся трудно, перейдите к следующему. Позже можно будет вернуться к пропущенным, если останется время. По окончании теста можно не дожидаться, пока сработает таймер, и нажать Завершить тест. Тогда тренажёр перейдёт к проверке результатов.

Разбор результатов начинается со 2 части пробника. Здесь вы сможете сами сравнить ответ с верным и выставить количество баллов. Это несложно — на той же странице мы понятным языком изложили все критерии оценивания.

После этого тренажёр покажет, сколько баллов вы набрали за экзамен. Здесь же будет видно, в какой части и номерах были ошибки. Разобрать их точнее можно с помощью кнопки под результатами.

В разделе с разбором ошибок можно сверить свои ответы из 1 части экзамена с правильными. Это поможет закрепить знания по теме и не ошибиться в следующий раз.

Удачи и высоких баллов!

1	banner-popap-prof-exams-training	ЛМ Профориентация
2	banner-popap-newyearexams-info	Exams прямая воронка

Задание №18 ЕГЭ профиль: Использование монотонности, оценок

Как пользоваться тренажёром

Инструкция