Вариант 8 • Профильная математика

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

а) \cos \left(\cfrac{3\pi}{2}+ x \right)+\sin \left(x - \cfrac{5\pi}{2} \right) + \cos x = \cos 2x

\sin x - \cos x + \cos x = 1 - 2 \sin^ 2x

2 \sin^ 2x+\sin x - 1 =0

Замена: \sin x = t

2t^2 + t - 1 =0

t = -1; \cfrac12

\begin{cases} \sin x = -1 \\ \sin x = \cfrac12 \end{cases}

\begin{cases} x = \cfrac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, n \in z \\ x = \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi m, m \in z \\ x = \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi p, p \in z \end{cases}

б)

Ответ:

а) \cfrac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, n \in z; \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi m, m \in z; \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi p, p \in z.

б) - \cfrac{23 \pi}{6}; - \cfrac{9 \pi}{2}.

а) Пусть d = (OO_1O_2) искомое сечение.

Четверти PP_1N_1N и MM_1N_1N равны (т.к. призма правильная).

N_1O_1 = N_1O_2, PO_1 = MO_2 \implies

O_1O_2 \parallel PM

Значит, PM \parallel d по теореме обр. Т. Фалеса.

Построим OAB \parallel PM.

Получим в сечении 4ки ABCD.

PMN \parallel P_1M_1N_1 \implies

\begin{cases} AB \parallel CD \\ AB \gt CD \end{cases} \implies ABCD — трапеция

б) \triangle PMN \backsim \triangle ABN по двум углам, k = \cfrac23 \implies AB = \cfrac23 \cdot PM =4

Построим KK_1 \perp PMN. Тогда \angle KOK_1 = 60 \degree (по углам) C_1D_1 - проекция CD на PMN.

\triangle MO_2A = \triangle N_1DO_2 по 2пр. \implies AM = DN_1 = D_1N

Итак, AM = AD_1 = D_1N \implies OH = OK_1 = K_1N = \cfrac13 NH = \sqrt3

\triangle KOK_1 прямоугольный: \angle OKK_1 = 30 \degree \implies OK = 2OK_1 = 2 \sqrt3

Получим AB = 4, CD = \cfrac13 PM = 2, OK = 2 \sqrt3

S_{ABCD} = \cfrac{4+2}{2} \cdot 2 \sqrt3 = 6 \sqrt 3

Ответ: 6 \sqrt3.

ОДЗ: \begin{cases} 3 + x \gt 0 \\ 3 + x \ne 1 \\ 3 - x \gt 0 \\ 3 - x \ne 1 \end{cases}

\begin{cases} -3 \lt x \lt 3 \\ x \ne \pm 2 \end{cases}

\cfrac{1}{\log_2(3+x)} + \cfrac{1}{\log_{\frac12}(3-x)} \ge 0

\cfrac{\log_2 \cfrac{3-x}{3+x}}{\log_2(3+x) \cdot \log_2(3-x)} \ge 0

\log_2 \cfrac{3-x}{3+x} = 0, x= 0

\log_2(3+x) = 0, x= -2

\log_2(3-x) = 0, x =2

Ответ: (-2; 0] \cup (2; 3).

К концу 2021г. стоимость акции будет 17+ 1 \cdot 4 = 21 тысяч рублей, а к концу 2022г - 22 тыс.руб

Если акцию продали в конце 2021г. и деньги положили в банк под p \% годовых, то к концу 2022г. на счёте будет 21 \cdot (1 + \cfrac{p}{100}) тыс. руб. Чтобы это вложение было выгодным, необходимо выполнение условия:

21 (1 + \cfrac{p}{100}) \gt 22

1 + \cfrac{p}{100} \gt \cfrac{22}{21}

\cfrac{p}{100} \gt \cfrac{1}{21}

p \gt \cfrac{100}{21}

p \gt 4 \cfrac{16}{21}

т.к. p наименшее целое число \implies p = 5 \%

Ответ: 5 \%.

а) PM и PK касательные к окружности с центром A \implies \angle APC = \angle APM = \cfrac12 \angle MPC

PC и PN касательные к окружности с центром B

\implies \angle CPB = \angle BPN = \cfrac12 \angle CPN

\angle MPC + \angle CPN = 180 \degree свойство смежных углов

\implies \angle APC + \angle CPB = 90 \degree

\implies \triangle APK = 90 \degree

б) \triangle APB - прямоугольный, PC - высота

\implies PC = \sqrt{BC \cdot AC} = \sqrt{6x}

\triangle CPT - прямоугл: TP = \sqrt{PC^2 + TC^2} = \sqrt{6x + 100}

PM = PC по свойству отрезков касательных

\implies TM = TP - PM = \sqrt{6x+100} - \sqrt 6x

\triangle ATM - прямоугольный по свойству касательных

TM = \sqrt{(10-x)^2 - x^2}

(\sqrt{6x + 100} - \sqrt{6x})^2 = (\sqrt{100 - 20x})^2

6x + 100 -2 \sqrt{6x(6x+100)} + 6x = 100 - 20x

(\sqrt{6x(6x+100)})^2 = (16x)^2

3(50+3x) = 64x

x = \cfrac{30}{11} = 2 \cfrac{8}{11} \implies \gamma_A = 2 \cfrac{8}{11}

Ответ: 2 \cfrac{8}{11}.

Построим в системе координат a0a решение уравнения |x| + |a| — 5

Решение неравенства |x| + |a| \lt 5 - внутренняя область ромба.

Построим график функции a = - \cfrac12 x^2 + 3x - \cfrac12

x_b = \cfrac{-3}{-1} = 3, y_b =4

Решение неравенства a \le - \cfrac12 x^2+3x - \cfrac12 - область ниши параболы, включая точки параболы.

Найдем координаты точки A: - \cfrac12 x^2 + 3x - \cfrac12 = -x + 5

x = 4 \pm \sqrt5

A (4- \sqrt5 ; 1+ \sqrt5)

Найдем координаты точки B (1; 4).

Ответ: a \in (-4; \sqrt5 + 1).

а) Пусть x — число операционистов. y — кредитных специалистов, z — бухгалтеров.

Тогда 50x + 70y + 35z = 490

10x + 14y + 7z = 98

98 : 7, (14y + 7z) : 7 \implies 10x : 7 \implies x : 7

Если x = 7, то 14y + 7z = 28

2y + z = 4, y = 1, z =2

Число посетителей: 20 \cdot 7 + 10 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 160

б) 20x + 10y + 5z = 280

4x + 2y + z = 56

50x + 70y + 35z \lt 230

5(10x + 14y +7z) \gt 5(4x+2y+z) \gt 5*56 = 330 Противоречие.

в) 50x + 70y + 35z = 275

10x + 14y + 7z = 55

(10x + 14y) - чет, 55 - нет \implies 7z - нет z - нет

z \le \cfrac{55-24}{7} = 4 \cfrac34 \implies z = 3 или z = 1

1) если z =1, то 10x+14y=48, 5x+7y = 24, y \le \cfrac{19}{7} = 2 \cfrac57 \implies y = 2 или 1.

если y =2, то x \le \cfrac{24 - 14}{5} = 2 \implies x =1 или x=2.

P = 20 \cdot 1 + 10 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 45 или P = 20 \cdot 2 + 10 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 65 если y = 1, то x \le \cfrac{24-7}{5} = 3 \cfrac25 \implies x = 3

P = 20 \cdot 3 + 10 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = 75

2) если z = 3, то 10x + 14y = 34

5x +7y = 17

y \le \cfrac{12}{7} = 1 \cfrac57 \implies y = 1

если y =1, то x \le \cfrac{10}{5} = 2 \implies x = 2

P = 20 \cdot 2 + 10 \cdot 1 + 5 \cdot 3 = 65

Итак, P = 75, при x=3, y=1, z=1.

Проверила: 50 \cdot 3 + 70 \cdot 1 + 35 \cdot 1 = 255 \le 275

Ответ: а) 160; б) нет; в) 75.