Вариант 8 по профильной математике для подготовки к ЕГЭ

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14 \degree. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

31

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} и \overrightarrow{c}. Найдите скалярное произведение векторов \overrightarrow{(a+c)} \cdot \overrightarrow{b}.

22

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2023 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

В цилиндр вписан конус. Объём цилиндра равен 720 \pi см^3, а высота —5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. В ответе укажите площадь, делённую на \pi и выраженную в квадратных сантиметрах.

156

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

Саша случайным образом выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.

0,2

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

Настя купила колоду из 52 карточек (от двоек до тузов) четырёх мастей (двух цветов). С какой вероятностью Настя случайно вынет из колоды карту, которая окажется девяткой или десяткой чёрной масти. Ответ округлите до сотых.

0,08

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

Решите уравнение:

\log_3(x^2+3x-1)=2.

В ответе укажите меньший корень.

-5

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

Найдите значение выражения

\cfrac{3 \sqrt3 + 3}{1 - \sqrt3} \cdot (\sqrt3 - 2).

3

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

На рисунке изображен график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f (x) в точке x_0.

-0,25

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

Максим учится кататься на скейтборде. Он толкает от себя скейтборд, который движется со скоростью v_2 = 4 м/c, затем бежит за ним со скоростью v_1 = 5 м/с и, догнав скейтборд, запрыгивает на него, при этом масса Максима m_1 = 37 кг. Скорость, с которой теперь будет двигаться скейтборд, вычисляется по формуле u = \cfrac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}. Какова масса скейтборда, если его скорость после прыжка Максима равна 4,925 м/c? Ответ дайте в килограммах.

3

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

На приборном заводе изготовили два сплава. Масса первого сплава меньше массы второго на 9 кг. Первый сплав содержит 5\% меди, второй — 13\%. После чего их смешали и получили новый сплав, содержащий 11\% меди. Определите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

18

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

На рисунке изображен график функции вида f(x)=ax^2+bx+c, где числа a,b,c— целые. Найдите f(-6).

48

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

Найдите точку минимума функции:

y = \cfrac{6+2x^2}{\sqrt x}.

1

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

а) Решите уравнение: \cos\left(\cfrac{3\pi}{2}+ x \right)+\sin \left(x - \cfrac{5\pi}{2} \right) + \cos x = \cos 2x.

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку: [-5 \pi; - \cfrac{7 \pi}{2}].

Если обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах, то выставляется 2 балла.
Если обоснованно получен верный ответ в пункте а или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов, то то выставляется 1 балл.
Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

а) \cos \left(\cfrac{3\pi}{2}+x \right)+\sin \left(x - \cfrac{5\pi}{2} \right) + \cos x = \cos 2x

\sin x - \cos x + \cos x = 1 - 2 \sin^ 2x

2 \sin^ 2x+\sin x - 1 =0

Замена: \sin x = t

2t^2 + t - 1 =0

t = -1; \cfrac12

\begin{cases} \sin x = -1 \\ \sin x = \cfrac12 \end{cases}

\begin{cases} x = \cfrac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, n \in z \\ x = \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi m, m \in z \\ x = \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi p, p \in z \end{cases}

б)

Ответ:

а) \cfrac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, n \in z; \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi m, m \in z; \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi p, p \in z.

б) - \cfrac{23 \pi}{6}; - \cfrac{9 \pi}{2}.

а) \cos \left(\cfrac{3\pi}{2}+ x \right)+\sin \left(x - \cfrac{5\pi}{2} \right) + \cos x = \cos 2x

\sin x - \cos x + \cos x = 1 - 2 \sin^ 2x

2 \sin^ 2x+\sin x - 1 =0

Замена: \sin x = t

2t^2 + t - 1 =0

t = -1; \cfrac12

\begin{cases} \sin x = -1 \\ \sin x = \cfrac12 \end{cases}

\begin{cases} x = \cfrac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, n \in z \\ x = \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi m, m \in z \\ x = \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi p, p \in z \end{cases}

б)

Ответ:

а) \cfrac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, n \in z; \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi m, m \in z; \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi p, p \in z.

б) - \cfrac{23 \pi}{6}; - \cfrac{9 \pi}{2}.

Если обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах, то выставляется 2 балла.
Если обоснованно получен верный ответ в пункте а или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов, то то выставляется 1 балл.
Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

В правильной треугольной призме PNMP_1N_1M_1 через точку пересечения медиан треугольника PNM и центры двух боковых граней ММ_1N_1N и PP_1N_1N проведена плоскость под углом 60 \degree к плоскости основания призмы.

а) Докажите, что сечение призмы PNMP_1N_1M_1 данной плоскостью является трапецией.

б) Найдите площадь полученного сечения, если MN=6.

Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б, то выставляется 3 балла.
Если получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, то выставляется 2 балла.
Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, или при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен, то выставляется 1 балл.
Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

а) Пусть d = (OO_1O_2) искомое сечение.

Четверти PP_1N_1N и MM_1N_1N равны (т.к. призма правильная).

N_1O_1 = N_1O_2, PO_1 = MO_2 \implies

O_1O_2 \parallel PM

Значит, PM \parallel d по теореме обр. Т. Фалеса.

Построим OAB \parallel PM.

Получим в сечении 4ки ABCD.

PMN \parallel P_1M_1N_1 \implies

\begin{cases} AB \parallel CD \\ AB \gt CD \end{cases} \implies ABCD — трапеция

б) \triangle PMN \backsim \triangle ABN по двум углам, k = \cfrac23 \implies AB = \cfrac23 \cdot PM =4

Построим KK_1 \perp PMN. Тогда \angle KOK_1 = 60 \degree (по углам) C_1D_1 - проекция CD на PMN.

\triangle MO_2A = \triangle N_1DO_2 по 2пр. \implies AM = DN_1 = D_1N

Итак, AM = AD_1 = D_1N \implies OH = OK_1 = K_1N = \cfrac13 NH = \sqrt3

\triangle KOK_1 прямоугольный: \angle OKK_1 = 30 \degree \implies OK = 2OK_1 = 2 \sqrt3

Получим AB = 4, CD = \cfrac13 PM = 2, OK = 2 \sqrt3

S_{ABCD} = \cfrac{4+2}{2} \cdot 2 \sqrt3 = 6 \sqrt 3

Ответ: 6 \sqrt3.

а) Пусть d = (OO_1O_2) искомое сечение.

Четверти PP_1N_1N и MM_1N_1N равны (т.к. призма правильная).

N_1O_1 = N_1O_2, PO_1 = MO_2 \implies

O_1O_2 \parallel PM

Значит, PM \parallel d по теореме обр. Т. Фалеса.

Построим OAB \parallel PM.

Получим в сечении 4ки ABCD.

PMN \parallel P_1M_1N_1 \implies

\begin{cases} AB \parallel CD \\ AB \gt CD \end{cases} \implies ABCD — трапеция

б) \triangle PMN \backsim \triangle ABN по двум углам, k = \cfrac23 \implies AB = \cfrac23 \cdot PM =4

Построим KK_1 \perp PMN. Тогда \angle KOK_1 = 60 \degree (по углам) C_1D_1 - проекция CD на PMN.

\triangle MO_2A = \triangle N_1DO_2 по 2пр. \implies AM = DN_1 = D_1N

Итак, AM = AD_1 = D_1N \implies OH = OK_1 = K_1N = \cfrac13 NH = \sqrt3

\triangle KOK_1 прямоугольный: \angle OKK_1 = 30 \degree \implies OK = 2OK_1 = 2 \sqrt3

Получим AB = 4, CD = \cfrac13 PM = 2, OK = 2 \sqrt3

S_{ABCD} = \cfrac{4+2}{2} \cdot 2 \sqrt3 = 6 \sqrt 3

Ответ: 6 \sqrt3.

Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б, то выставляется 3 балла.
Если получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, то выставляется 2 балла.
Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, или при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен, то выставляется 1 балл.
Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

Решите неравенство:

\log_{3+x} 2 + \log_{3-x} \cfrac12 \ge 0.

Если обоснованно получен верный ответ, то выставляется 2 балла.
Если обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения, то выставляется 1 балл.
Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

ОДЗ: \begin{cases} 3 + x \gt 0 \\ 3 + x \ne 1 \\ 3 - x \gt 0 \\ 3 - x \ne 1 \end{cases}

\begin{cases} -3 \lt x \lt 3 \\ x \ne \pm 2 \end{cases}

\cfrac{1}{\log_2(3+x)} + \cfrac{1}{\log_{\frac12}(3-x)} \ge 0

\cfrac{\log_2 \cfrac{3-x}{3+x}}{\log_2(3+x) \cdot \log_2(3-x)} \ge 0

\log_2 \cfrac{3-x}{3+x} = 0, x= 0

\log_2(3+x) = 0, x= -2

\log_2(3-x) = 0, x =2

Ответ: (-2; 0] \cup (2; 3).

ОДЗ: \begin{cases} 3 + x \gt 0 \\ 3 + x \ne 1 \\ 3 - x \gt 0 \\ 3 - x \ne 1 \end{cases}

\begin{cases} -3 \lt x \lt 3 \\ x \ne \pm 2 \end{cases}

\cfrac{1}{\log_2(3+x)} + \cfrac{1}{\log_{\frac12}(3-x)} \ge 0

\cfrac{\log_2 \cfrac{3-x}{3+x}}{\log_2(3+x) \cdot \log_2(3-x)} \ge 0

\log_2 \cfrac{3-x}{3+x} = 0, x= 0

\log_2(3+x) = 0, x= -2

\log_2(3-x) = 0, x =2

Ответ: (-2; 0] \cup (2; 3).

Если обоснованно получен верный ответ, то выставляется 2 балла.
Если обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения, то выставляется 1 балл.
Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

Инвестиционный фонд социальной защиты населения имеет собственные акции. В начале 2017 года стоимость одной акции составляла 17 тысяч рублей, и затем в начале каждого года она увеличивается на 1 тысячу рублей. Просчитав все варианты, руководство фонда пришло к выводу, что будет выгодным продать акции в конце 2021 года и положить деньги на счёт в банке. Под какой минимальный процент необходимо будет положить деньги, вырученные с продажи акции, в банк при условии, что число процентов целое?

Если обоснованно получен верный ответ, то выставляется 2 балла.
Если Верно построена математическая модель, то выставляется 1 балл.
Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

К концу 2021г. стоимость акции будет 17+ 1 \cdot 4 = 21 тысяч рублей, а к концу 2022г - 22 тыс.руб

Если акцию продали в конце 2021г. и деньги положили в банк под p \% годовых, то к концу 2022г. на счёте будет 21 \cdot (1 + \cfrac{p}{100}) тыс. руб. Чтобы это вложение было выгодным, необходимо выполнение условия:

21 (1 + \cfrac{p}{100}) \gt 22

1 + \cfrac{p}{100} \gt \cfrac{22}{21}

\cfrac{p}{100} \gt \cfrac{1}{21}

p \gt \cfrac{100}{21}

p \gt 4 \cfrac{16}{21}

т.к. p наименшее целое число \implies p = 5 \%

Ответ: 5 \%.

К концу 2021г. стоимость акции будет 17+ 1 \cdot 4 = 21 тысяч рублей, а к концу 2022г - 22 тыс.руб

Если акцию продали в конце 2021г. и деньги положили в банк под p \% годовых, то к концу 2022г. на счёте будет 21 \cdot (1 + \cfrac{p}{100}) тыс. руб. Чтобы это вложение было выгодным, необходимо выполнение условия:

21 (1 + \cfrac{p}{100}) \gt 22

1 + \cfrac{p}{100} \gt \cfrac{22}{21}

\cfrac{p}{100} \gt \cfrac{1}{21}

p \gt \cfrac{100}{21}

p \gt 4 \cfrac{16}{21}

т.к. p наименшее целое число \implies p = 5 \%

Ответ: 5 \%.

Если обоснованно получен верный ответ, то выставляется 2 балла.
Если верно построена математическая модель, то выставляется 1 балл.
Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

В равнобедренный треугольник РТК вписана окружность с центром А, касающаяся основания РК в точке С. Другая окружность с центром В касается основания РК и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что \triangle APB = 90 \degree.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник РТК, если известно, что радиус другой окружности равен 6 и ТС = 10.

Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б, то выставляется 3 балла.
Если получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, то выставляется 2 балла.
Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, или при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен, то выставляется 1 балл.
Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

а) PM и PK касательные к окружности с центром A \implies \angle APC = \angle APM = \cfrac12 \angle MPC

PC и PN касательные к окружности с центром B

\implies \angle CPB = \angle BPN = \cfrac12 \angle CPN

\angle MPC + \angle CPN = 180 \degree свойство смежных углов

\implies \angle APC + \angle CPB = 90 \degree

\implies \triangle APK = 90 \degree

б) \triangle APB - прямоугольный, PC - высота

\implies PC = \sqrt{BC \cdot AC} = \sqrt{6x}

\triangle CPT - прямоугл: TP = \sqrt{PC^2 + TC^2} = \sqrt{6x + 100}

PM = PC по свойству отрезков касательных

\implies TM = TP - PM = \sqrt{6x+100} - \sqrt 6x

\triangle ATM - прямоугольный по свойству касательных

TM = \sqrt{(10-x)^2 - x^2}

(\sqrt{6x + 100} - \sqrt{6x})^2 = (\sqrt{100 - 20x})^2

6x + 100 -2 \sqrt{6x(6x+100)} + 6x = 100 - 20x

(\sqrt{6x(6x+100)})^2 = (16x)^2

3(50+3x) = 64x

x = \cfrac{30}{11} = 2 \cfrac{8}{11} \implies \gamma_A = 2 \cfrac{8}{11}

Ответ: 2 \cfrac{8}{11}.

а) PM и PK касательные к окружности с центром A \implies \angle APC = \angle APM = \cfrac12 \angle MPC

PC и PN касательные к окружности с центром B

\implies \angle CPB = \angle BPN = \cfrac12 \angle CPN

\angle MPC + \angle CPN = 180 \degree свойство смежных углов

\implies \angle APC + \angle CPB = 90 \degree

\implies \triangle APK = 90 \degree

б) \triangle APB - прямоугольный, PC - высота

\implies PC = \sqrt{BC \cdot AC} = \sqrt{6x}

\triangle CPT - прямоугл: TP = \sqrt{PC^2 + TC^2} = \sqrt{6x + 100}

PM = PC по свойству отрезков касательных

\implies TM = TP - PM = \sqrt{6x+100} - \sqrt 6x

\triangle ATM - прямоугольный по свойству касательных

TM = \sqrt{(10-x)^2 - x^2}

(\sqrt{6x + 100} - \sqrt{6x})^2 = (\sqrt{100 - 20x})^2

6x + 100 -2 \sqrt{6x(6x+100)} + 6x = 100 - 20x

(\sqrt{6x(6x+100)})^2 = (16x)^2

3(50+3x) = 64x

x = \cfrac{30}{11} = 2 \cfrac{8}{11} \implies \gamma_A = 2 \cfrac{8}{11}

Ответ: 2 \cfrac{8}{11}.

Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б, то выставляется 3 балла.
Если получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, то выставляется 2 балла.
Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, или при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен, то выставляется 1 балл.
Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств \begin{cases} x^2 + 1 \le 6x - 2a, \\ |x| + |a| \lt 5 \end{cases} имеет хотя бы одно решение на отрезке [1;3].

Если обоснованно получен верный ответ, то выставляется 4 балла.
Если с помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но или в ответ включены также и одно-два неверных значения; или решение недостаточно обосновано, то выставляется 3 балла.
Если с помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра, то выставляется 2 балла.
Если задача сведена к исследованию, то выставляется 1 балл.
Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

Построим в системе координат a0a решение уравнения |x| + |a| — 5

Решение неравенства |x| + |a| \lt 5 - внутренняя область ромба.

Построим график функции a = - \cfrac12 x^2 + 3x - \cfrac12

x_b = \cfrac{-3}{-1} = 3, y_b =4

x

2

1

0

-1

y

3 \cfrac12

2

- \cfrac12

-4

Решение неравенства a \le - \cfrac12 x^2+3x - \cfrac12 - область ниши параболы, включая точки параболы.

Найдем координаты точки A: - \cfrac12 x^2 + 3x - \cfrac12 = -x + 5

x = 4 \pm \sqrt5

A (4- \sqrt5 ; 1+ \sqrt5)

Найдем координаты точки B (1; 4).

Ответ: a \in (-4; \sqrt5 + 1).

Построим в системе координат a0a решение уравнения |x| + |a| — 5

Решение неравенства |x| + |a| \lt 5 - внутренняя область ромба.

Построим график функции a = - \cfrac12 x^2 + 3x - \cfrac12

x_b = \cfrac{-3}{-1} = 3, y_b =4

x

2

1

0

-1

y

3 \cfrac12

2

- \cfrac12

-4

Решение неравенства a \le - \cfrac12 x^2+3x - \cfrac12 - область ниши параболы, включая точки параболы.

Найдем координаты точки A: - \cfrac12 x^2 + 3x - \cfrac12 = -x + 5

x = 4 \pm \sqrt5

A (4- \sqrt5 ; 1+ \sqrt5)

Найдем координаты точки B (1; 4).

Ответ: a \in (-4; \sqrt5 + 1).

Если обоснованно получен верный ответ, то выставляется 4 балла.
Если с помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но или в ответ включены также и одно-два неверных значения; или решение недостаточно обосновано, то выставляется 3 балла.
Если с помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра, то выставляется 2 балла.
Если задача сведена к исследованию, то выставляется 1 балл.
Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

Ежедневно при оформлении банковских операций каждому бухгалтеру требуется 35 листов бумаги, кредитному специалисту — 70, операционисту — 50. Каждый бухгалтер ежедневно принимает 5 посетителей, кредитный специалист — 10, операционист — 20. Специалистов каждой из этих должностей не менее одного.

а) Какое общее число посетителей могло быть у этих специалистов, если за один день израсходовано 490 листов бумаги?

б) Могло ли за один день быть 280 посетителей банка, если в этот день было израсходовано меньше 230 листов бумаги?

в) Каким могло быть наибольшее число посетителей за один день, если ежедневно расходовалось не более 275 листов бумаги?

Если обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в, то выставляется 4 балла.
Если Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б, то выставляется 3 балла.
Если обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б или обоснованно получен верный ответ в пункте в, то выставляется 2 балла.
Если обоснованно получен верный ответ в пункте а или б , то выставляется 1 балл.
Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

а) Пусть x — число операционистов. y — кредитных специалистов, z — бухгалтеров.

Тогда 50x + 70y + 35z = 490

10x + 14y + 7z = 98

98 : 7, (14y + 7z) : 7 \implies 10x : 7 \implies x : 7

Если x = 7, то 14y + 7z = 28

2y + z = 4, y = 1, z =2

Число посетителей: 20 \cdot 7 + 10 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 160

б) 20x + 10y + 5z = 280

4x + 2y + z = 56

50x + 70y + 35z \lt 230

5(10x + 14y +7z) \gt 5(4x+2y+z) \gt 5*56 = 330 Противоречие.

в) 50x + 70y + 35z = 275

10x + 14y + 7z = 55

(10x + 14y) - чет, 55 - нет \implies 7z - нет z - нет

z \le \cfrac{55-24}{7} = 4 \cfrac34 \implies z = 3 или z = 1

1) если z =1, то 10x+14y=48, 5x+7y = 24, y \le \cfrac{19}{7} = 2 \cfrac57 \implies y = 2 или 1.

если y =2, то x \le \cfrac{24 - 14}{5} = 2 \implies x =1 или x=2.

P = 20 \cdot 1 + 10 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 45 или P = 20 \cdot 2 + 10 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 65 если y = 1, то x \le \cfrac{24-7}{5} = 3 \cfrac25 \implies x = 3

P = 20 \cdot 3 + 10 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = 75

2) если z = 3, то 10x + 14y = 34

5x +7y = 17

y \le \cfrac{12}{7} = 1 \cfrac57 \implies y = 1

если y =1, то x \le \cfrac{10}{5} = 2 \implies x = 2

P = 20 \cdot 2 + 10 \cdot 1 + 5 \cdot 3 = 65

Итак, P = 75, при x=3, y=1, z=1.

Проверила: 50 \cdot 3 + 70 \cdot 1 + 35 \cdot 1 = 255 \le 275

Ответ: а) 160; б) нет; в) 75.

а) Пусть x — число операционистов. y — кредитных специалистов, z — бухгалтеров.

Тогда 50x + 70y + 35z = 490

10x + 14y + 7z = 98

98 : 7, (14y + 7z) : 7 \implies 10x : 7 \implies x : 7

Если x = 7, то 14y + 7z = 28

2y + z = 4, y = 1, z =2

Число посетителей: 20 \cdot 7 + 10 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 160

б) 20x + 10y + 5z = 280

4x + 2y + z = 56

50x + 70y + 35z \lt 230

5(10x + 14y +7z) \gt 5(4x+2y+z) \gt 5*56 = 330 Противоречие.

в) 50x + 70y + 35z = 275

10x + 14y + 7z = 55

(10x + 14y) - чет, 55 - нет \implies 7z - нет z - нет

z \le \cfrac{55-24}{7} = 4 \cfrac34 \implies z = 3 или z = 1

1) если z =1, то 10x+14y=48, 5x+7y = 24, y \le \cfrac{19}{7} = 2 \cfrac57 \implies y = 2 или 1.

если y =2, то x \le \cfrac{24 - 14}{5} = 2 \implies x =1 или x=2.

P = 20 \cdot 1 + 10 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 45 или P = 20 \cdot 2 + 10 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 65 если y = 1, то x \le \cfrac{24-7}{5} = 3 \cfrac25 \implies x = 3

P = 20 \cdot 3 + 10 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = 75

2) если z = 3, то 10x + 14y = 34

5x +7y = 17

y \le \cfrac{12}{7} = 1 \cfrac57 \implies y = 1

если y =1, то x \le \cfrac{10}{5} = 2 \implies x = 2

P = 20 \cdot 2 + 10 \cdot 1 + 5 \cdot 3 = 65

Итак, P = 75, при x=3, y=1, z=1.

Проверила: 50 \cdot 3 + 70 \cdot 1 + 35 \cdot 1 = 255 \le 275

Ответ: а) 160; б) нет; в) 75.

Если обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в, то выставляется 4 балла.
Если Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б, то выставляется 3 балла.
Если обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б или обоснованно получен верный ответ в пункте в, то выставляется 2 балла.
Если обоснованно получен верный ответ в пункте а или б , то выставляется 1 балл.
Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

Критерии оценивания выполнения задания основаны на материалах демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2024 года по МАТЕМАТИКЕ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2.

1	banner-popap-prof-exams	ЛМ Профориентация
2	banner-popap-newrules	ЛМ Новые правила поступления
3	banner-popap-last-chance-2	3-месячный курс Exams

Вариант 8 • Профильная математика