Вариант 7 • Профильная математика

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

\omega=\omega_0\dfrac{1+\cfrac uc}{1-\cfrac vc}\ \

\omega \cdot (1-\cfrac vc)=\omega_0\cdot(1+\cfrac uc)

1-\cfrac vc=\dfrac{\omega_0\cdot(1+\cfrac uc) }{\omega}

\cfrac vc=1-\dfrac{\omega_0\cdot(1+\cfrac uc) }{\omega}

v=(1-\dfrac{\omega_0\cdot(1+\cfrac uc) }{\omega})\cdot c

348 м/с =1252,8 км\ч

v=(1-\dfrac{600\cdot(1+\cfrac {108}{1252,8}) }{756})\cdot 1252,8

v=1252,8-\dfrac{600\cdot(1+\cfrac {108}{1252,8}) }{756}\cdot 1252,8

v=1252,8-\dfrac{1252,8\cdot 600\cdot(1+\cfrac {108}{1252,8}) }{756}

v=1252,8-\dfrac{1252,8\cdot 600\cdot \cfrac {1360,8}{1252,8} }{756}

v=1252,8-\dfrac{ 600\cdot 1360,8 }{756}

v=1252,8-600\cdot 1,8

v=1252,8-1080

v=172,8

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

f(x)=\dfrac{8}{x} и f(x)=\dfrac{1}{4}x-1

\dfrac{8}{x}=\dfrac{1}{4}x-1

8=\dfrac{1}{4}x^2-1x

x^2-4x-32=0

Корни: x_1=8; x_2=-4

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

a) Воспользуемся формулами приведения:

\sqrt{3\cos^2{x}-2}=1-3\sin x.

Воспользуемся элементарными преобразованиями:

\begin{cases} 1-3\sin x \ge 0\\ 3\cos^2 x -2=(1-3\sin x)^2 \end{cases} ;

\begin{cases} \sin x \le \dfrac{1}{3}\\ 3\cos^2 x -2=(1-3\sin x)^2 \end{cases} .

Решим уравнение, а затем проверим ответ по ограничениям:

3\cos^2 x -2=1 -6\sin x +9\sin^2 x;

3(1-\sin^2 x) -2=1 -6\sin x +9\sin^2 x;

12\sin^2 x -6\sin x=0;

6\sin x (2\sin x -1)=0;

\sin x = \dfrac{1}{2} не подходит по ограничениям;

\sin x = 0 подходит по ограничениям;

x=\pi n, n \in \Z.

б) 99\pi, \space 100\pi.

Ответ: а)x=\pi n, n \in \Z б)99\pi, \space 100\pi.

а) Т. к. M_1P\perp (M_1N_1R_1) , то M_1T — проекция наклонной PT.

Так как треугольник M_1N_1T равнобедренный и угол M_1N_1T=120\degree, то угол N_1M_1T=30\degree, а так как M_1N_1R_1 равносторонний, угол TM_1R_1=60\degree+30\degree=90\degree. Поэтому, по теореме о трёх перпендикулярах, M_1R_1 и PT перпендикулярны.

б) Т. к. M_1R_1\perp M_1T и M_1R_1\perp MP , то M_1R_1\perp (M_1TP) и MR\perp (M_1TP), значит, искомое расстояние — это расстояние от точки пересечения этой прямой и плоскости — точки M — до прямой PT, то есть высота треугольника PMT — MQ.

Этот треугольник равнобедренный, так как M_1T — медиана и высота.

M_1T=M_1R_1\tg60\degree=8\sqrt{3}.

Следовательно, площадь треугольника PMT равна 16\sqrt{3}.

PT=\sqrt{4+192}=14, значит, MQ=\dfrac{32\sqrt{3}}{14}=\dfrac{16\sqrt{3}}{7}.

Ответ: \dfrac{16\sqrt{3}}{7}

\begin{cases} x+1 \gt 0 \\ \dfrac{2}{3}x^2\log_{5}{(x+1)} \ge 2\log_{5}{(x+1)} \end{cases} \\

\begin{cases} x \gt -1 \\ x^2\log_{5}{(x+1)}-3\log_{5}{(x+1)} \ge 0 \end{cases} \\

\begin{cases} x \gt -1 \\ \log_{5}{(x+1)}(x^2-3) \ge 0 \end{cases} \\

\begin{cases} x \gt -1 \\ (\log_{5}{(x+1)}-\log_{5}{1})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) \ge 0 \end{cases} \\

Так как функция y=\log_{5}{x} — возрастающая, можем рационализировать разность логарифмов.

\begin{cases} x \gt -1 \\ (x+1-1)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) \ge 0 \end{cases} \\

Решая методом интервалов, получим:

x \in (-1;0] \cup [\sqrt{3};+\infty)

Ответ: x \in (-1;0] \cup [\sqrt{3};+\infty).

Пусть S — сумма кредита, 5 \%=0,05 — процентная ставка.

Общая сумма выплат должна быть равна 1,5 млн. рублей

(0,05 S + \cfrac{S}{9}) + (0,05 \cdot \cfrac{8S}{9} + \cfrac{S}{9}) + (0,05 \cdot \cfrac{7S}{9} + \cfrac{S}{9}) + + (0,05 \cdot \cfrac{6S}{9} + \cfrac{S}{9}) +(0,05 \cdot \cfrac{5S}{9} + \cfrac{S}{9}) + (0,05 \cdot \cfrac{4S}{9} + \cfrac{S}{9})+ (0,05 \cdot \cfrac{3S}{9} + \cfrac{S}{9})+ (0,05 \cdot \cfrac{2S}{9} + \cfrac{S}{9})+ (0,05 \cdot \cfrac{1S}{9} + \cfrac{S}{9}) = 1500000

\cfrac{9S}{9}+ 0,05S (1+\cfrac{8}{9}+\cfrac{7}{9}+\cfrac{6}{9}+\cfrac{5}{9}+\cfrac{4}{9}+\cfrac{3}{9}+\cfrac{2}{9}+\cfrac{1}{9}) = 1500000

S+ 0,05S \cdot \cfrac{45}{9} = 1500000

S+ 0,05S \cdot 5 = 1500000

S+ 0,25S = 1500000

1,25S= 1500000

S= 1200000

Ответ: 1200000

a) Так как в трапеции NR_1R_2M и R_1R_2KP можно вписать окружности, то:

MN+R_1R_2=NR_1+R_2M и KP+R_1R_2=PR_1+R_2K.

Но R_1 и R_2 — середины оснований, поэтому MN+R_1R_2=KP+R_1R_2 и боковые стороны равны.

б) Обозначим MN=x. Пусть NH — высота трапеции, тогда

MH=\sqrt{MN^2-NH^2}=\sqrt{x^2-64};

MN+R_1R_2=NR_1+R_2M;

x+8=7+7+\sqrt{x^2-64};

x=\dfrac{25}{3}.

Пусть S — точка касания окружности со стороной MN.

Из треугольника NSO: NS=7-4=3, NO=5.

Из треугольника NOM (он прямоугольный, так как биссектрисы пересекаются под прямым углом): \sin \angle NMO=\dfrac{5}{\frac{25}{3}}=\dfrac{3}{5}.

MO=\dfrac{4}{\sin \angle NMO}=\dfrac{20}{3}.

Пусть T и T_1 соответственно — точка касания окружностей и перпендикуляр из неё на основание MK.

MT=MO-4=\dfrac{20}{3}-4=\dfrac{8}{3}.

Пусть (O_1;r) — меньшая окружность.

MO_1=MT-r=\dfrac{8}{3}-r;

\dfrac{r}{\dfrac{8}{3}-r}=\dfrac{3}{5};

r=1.

Ответ: 1

Найдём производную функции и определим, в каких точках производная обращается в нуль:

g'(x)=24px^3-48x^2+12x

24px^3-48x^2+12x=0

12x(2px^2-4x+1)=0

Точка x_1=0 является точкой экстремума при любых значениях параметра.

При p=0 уравнение 2px^2-4x+1=0 — линейное и имеет один корень x_2=\dfrac{1}{4}.

Проанализировав значения в этих точках и поведение функции, убеждаемся, что точка x_1=0 является единственной точкой минимума.

Количество корней уравнения 2px^2-4x+1=0 зависит от значения дискриминанта 16-8p.

При p \gt 2 уравнение 2px^2-4x+1=0 не имеет корней, левая часть положительна, x_1=0 — точка минимума.

При p = 2 уравнение 2px^2-4x+1=0 имеет один корень, точка x_1=0 — точка минимума.

При 0\lt p \lt 2 уравнение 2px^2-4x+1=0 имеет два корня.

x_2=\dfrac{4-\sqrt{16-8p}}{4p}, x_3=\dfrac{4+\sqrt{16-8p}}{4p}.

Все корни неотрицательные, x_1=0 является точкой минимума и чтобы она была единственной на отрезке [-1;1] нужно, чтобы x_3=\dfrac{4+\sqrt{16-8p}}{4p}\gt 1. Решив неравенство при неотрицательных p, получим 0 \lt p \lt 1,5

Ответ: p \in[0;1,5)\cup[2;+\infty)

a) Пусть a, b и c — количество, соответственно, «сотенных», «десяток» и купюр по 1 у. е. Тогда

100a+10b+c=13a+13b+13c

87a-3b-12c=0. Например, a=1, b=5, с=6. Да, может.

б) Нет: 100a+10b+c=6a+6b+6c

94a+4b=5c. Даже при a=1, b=1,94a+4b\ge 98, а 5с\le 45.

в) 600+10b+c=6n+nb+nc

n=\dfrac{600+10b+c}{6+b+c}=100-9\cdot\dfrac{10b+11c}{6+b+c}

Нам нужно, чтобы дробь принимала наименьшее целое значение.

При b=1 и c=1n- не целое.

При b=1 и c=2n=68.

При b=2 и c=1n=69. Далее, при увеличении b и/илиc, числитель дроби 9\cdot\dfrac{10b+11c}{6+b+c} растёт быстрее знаменателя, поэтому n будет меньше.

Поэтому ответ n=69.