Вариант 6 • Профильная математика

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

Правильное выполнение задания оцениватся 1 баллом.

а) Приведём к одному основанию:

31^{2\sin {2x}}=31^{-2\cos x}

Приравняем показатели и решим полученное уравнение:

2\sin {2x}=-2\cos x

2\sin {2x}+2\cos x=0

4\sin {x}\cos {x}+2\cos x=0

2\cos x (2\sin x +1)=0

\cos x=0

x_1 = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \space n\in \Z

2\sin x +1=0

\sin x = -\dfrac{1}{2}

x_2 = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi m, \space m \in \Z

x_3 = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, \space k \in \Z

б)

• -3\pi \le \dfrac{\pi}{2} +\pi n \le -2\pi

  -3\dfrac{1}{2} \le n \le -2\dfrac{1}{2}

  n=-3, \space x_1=-\dfrac{5\pi}{2}

• -3\pi \le -\dfrac{\pi}{6} +2\pi m \le -2\pi

  -1\dfrac{5}{12} \le m \le -\dfrac{11}{12}

  m=-1, \space x_2=-\dfrac{13\pi}{6}

• -3\pi \le -\dfrac{5\pi}{6} +2\pi k \le -2\pi

  -1\dfrac{1}{12} \le k \le -\dfrac{7}{12}

  n=-1, \space x_3=-\dfrac{17\pi}{6}

Ответ: -\dfrac{5\pi}{2};-\dfrac{13\pi}{6};-\dfrac{17\pi}{6}

• Если обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах, то выставляется 2 балла.
• Если обоснованно получен верный ответ в пункте а или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов, то то выставляется 1 балл.
• Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

а) QT — проекция прямой TQ_1 на плоскость PQRT.

Следовательно, QT\perp PR, следовательно TQ_1\perp PR.

Аналогично TQ_1\perp PT_1, PT_1\in PP_1T_1.

Следовательно TQ_1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости PT_1R, следовательно TQ_1\perp PT_1R.

б) Q_1T — линия пересечения плоскостей PQ_1R_1 и P_1Q_1R.

Опустим на неё перпендикулярны из точек P и R.

Треугольник PTQ_1 равен треугольнику RTQ_1, следовательно оба перпендикуляра попадают в одну точку H.

Рассмотрим треугольник PQ_1T:

PH=\dfrac{PT \cdot PQ_1}{TQ_1}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{17}.

Рассмотрим треугольник PHR:

\cos \angle PHR = \dfrac{PH^2+HR^2-PR^2}{2\cdot PH \cdot HR}=-\dfrac{1}{2}.

Следовательно \angle PHR = 120\degree, следовательно угол между плоскостями равен 60\degree.

Ответ: 60\degree

• Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б, то выставляется 3 балла.
• Если получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, то выставляется 2 балла.
• Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, или при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен, то выставляется 1 балл.
• Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

Найдём ОДЗ:

\begin{cases} (x-3)^2\gt 0\\ x+3\ne 0 \end{cases} .

Следовательно, x\ne \pm3;

(6-\sqrt{35}) (6+\sqrt{35})=1;

(6-\sqrt{35})=(6+\sqrt{35})^{-1}.

Так как 6+\sqrt{35} \gt 1, знак выражения \left(6+\sqrt{35}\right)^{x-3}-\left(6+\sqrt{35}\right)^{-\frac{x-3}{x+3}} совпадает со знаком выражения x-3+\frac{x-3}{x+3}.

Применим метод рационализации и к выражению в первой скобке, получим:

(\frac27-1)((x-3)^2-\frac27^2)\left(x-3+\frac{x-3}{x+3}\right)\le0 ;

(x-3-\frac27)(x-3+\frac27)\left(x-3+\frac{x-3}{x+3}\right)\ge0 ;

\frac{(x-3\frac27)(x-2\frac57)(x-3)(x+4)}{x+3}\ge0 ;

\left[-4;-3\right)\cup\left[2\dfrac57;3\right]\cup\left[3\dfrac27;+\infty\right).

Учтём ограничения:

\left[-4;-3\right)\cup\left[2\dfrac57;3\right)\cup\left[3\dfrac27;+\infty\right).

Ответ: \left[-4;-3\right)\cup\left[2\dfrac57;3\right)\cup\left[3\dfrac27;+\infty\right).

• Если обоснованно получен верный ответ, то выставляется 2 балла.
• Если обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения, то выставляется 1 балл.
• Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

Пусть S — сумма кредита, r — процентная ставка.

Если бы осталось 12 \%

S + 0,12S(1 + \cfrac45 + \cfrac35 + \cfrac25 + \cfrac15) = S + 0,12S \cdot 3 = 1,36S

1,36S = 1360000

S = 1000000

Получилось: S + S(0,12 +0,12 \cdot \cfrac45 + \cfrac{r}{100} \cdot \cfrac35 + \cfrac{r}{100} \cdot \cfrac25 + \cfrac{r}{100} \cdot \cfrac15) = S + S(0,216 + \cfrac{r}{100} \cdot \cfrac65)

1,216S + S \cdot \cfrac{6r}{500} = 1420000 \implies \cfrac{6r}{500} = 0,204 \implies r = 17

Ответ: 17

• Если обоснованно получен верный ответ, то выставляется 2 балла.
• Если верно построена математическая модель, то выставляется 1 балл.
• Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

а) NO — биссектриса угла MNP, следовательно точка Q лежит на прямой MN.

PO — биссектриса угла NPM.

Следовательно \angle MPO = \angle NPO = \angle NQO = \angle MQO.

Отрезок MO виден из точек P и Q под одинаковым углом.

Значит, все вершины четырёхугольника MPOQ лежат на окружности.

Значит,вокруг четырёхугольника можно описать окружность, что и требовалось доказать.

б) Треугольник MPN — прямоугольный, т. к. MN^2+NP^2=MP^2.

Следовательно r=\dfrac{MN+NP-MP}{2}=\dfrac{15+20-25}{2}=5;

S_{QPN}=\dfrac{QN \cdot NP}{2}=\dfrac{20 \cdot 20}{2}=200;

S_{MON}=\dfrac{MN \cdot r}{2}=\dfrac{15 \cdot 5}{2}=37,5;

S_{PON}=\dfrac{NP \cdot r}{2}=\dfrac{20 \cdot 5}{2}=50;

S_{MOPQ}=S_{QPN}-S_{MON}-S_{PON}=200-37,5-50=112,5.

Ответ: 112,5

• Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б, то выставляется 3 балла.
• Если получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, то выставляется 2 балла.
• Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, или при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен, то выставляется 1 балл.
• Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

ОДЗ: x\gt |a|.

Обозначим y=\log_5(x+a)-\log_5(x-a).

y^2-8ay+15a^2-8a-16=0;

\dfrac{D}{4}=16a^2-15a^2+8a+16=(a+4)^2.

\left[ \begin{aligned} y=4a+a+4\\ y=4a-a-4 \end{aligned} \right.

\left[ \begin{aligned} \log_5\dfrac{x+a}{x-a}=5a+4\\ \log_5\dfrac{x+a}{x-a}=3a-4 \end{aligned} \right.

Выясним, сколько решений имеет уравнение \log_5\dfrac{x+a}{x-a}=b.

\log_{5}{\dfrac{x+a}{x-a}}=5a+4

Уравнение сводится к линейному уравнению

x+a=(x-a)\cdot 5^{5a+4}

которое имеет один корень

x=a\cdot \dfrac{5^{5a+4}+1}{5^{5a+4}-1}, при a\ne -\dfrac{4}{5}

\log_{5}{\dfrac{x+a}{x-a}}=3a-4, аналогично, может иметь один корень

x=a\cdot \dfrac{5^{3a-4}+1}{5^{3a-4}-1}, при a\ne -\dfrac{4}{3}

Мы хотим, чтобы эти корни были различны: 5a+4 \ne 3a-4 и подходили под ОДЗ: x \gt |a|

Решаем систему:

\begin{cases} 5a+4 \ne 3a-4 \gt 0 \\ a\cdot \dfrac{5^{5a+4}+1}{5^{5a+4}-1}\gt |a|\\ a\cdot \dfrac{5^{3a-4}+1}{5^{3a-4}-1}\gt |a| \end{cases}

Следовательно,

\begin{cases} a\ne -4 \\ \left[ \begin{aligned} a \lt -\frac{4}{5}\\ a \gt 0 \end{aligned} \right.\\ \left[ \begin{aligned} a \lt 0\\ a \gt \frac{4}{3} \end{aligned} \right. \end{cases}

Следовательно,

x \in \left(-\infty;-4\right) \cup (-4; -\dfrac45)\cup \left(\dfrac43;+\infty\right).

Ответ: x \in \left(-\infty;-4\right) \cup (-4; -\dfrac45)\cup \left(\dfrac43;+\infty\right).

• Если обоснованно получен верный ответ, то выставляется 4 балла.
• Если с помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но или в ответ включены также и одно-два неверных значения; или решение недостаточно обосновано, то выставляется 3 балла.
• Если с помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра, то выставляется 2 балла.
• Если задача сведена к исследованию, то выставляется 1 балл.
• Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.

а) Да, могут. Это, например, один штабель, внизу которого шесть брёвен: 6+5+4+3=18.

б) Заметим, что количество брёвен в каждом ряду в одном штабеле представляет собой арифметическую прогрессию с разностью d=1.

Если одинаковых штабелей k, то количество брёвен в соответствующих рядах — это уже прогрессия с разностью k.

Первый член прогрессии — это a_1 \cdot k — количество брёвен в верхних рядах, n — количество рядов.

Следовательно, сумма равна \dfrac{2a_1 \cdot k+k(n-1)}{2}\cdot n.

Очевидно, что высота будет максимальна при минимальном k=1 и a_1=1.

Тогда \dfrac{n(n+1)}{2}\lt800.

Поэтому n=39.

в) \dfrac{2a_1 \cdot k+k(n-1)}{2}\cdot n=111;

2a_1 \cdot k+k(n-1)\cdot n=222=37\cdot2\cdot3.

Если n=37, то (2a_1 \cdot k+36n)\cdot n\gt222.

Если n=3, то может быть вариант 36+37+38.

Если n=6, то может быть вариант 16+17+18+19+20+21.

• Если обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в, то выставляется 4 балла.
• Если Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б, то выставляется 3 балла.
• Если обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б или обоснованно получен верный ответ в пункте в, то выставляется 2 балла.
• Если обоснованно получен верный ответ в пункте а или б , то выставляется 1 балл.
• Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, то выставляется 0 баллов.