Вариант 4 • Профильная математика

а)

ОДЗ: x\ge -7

Замена: \sqrt{x+7}=t, x=t^2-7

\sqrt{t^2-7+8-2t}+\sqrt{t^2-7+11-4t}=2

\sqrt{t^2-2t+1}+\sqrt{t^2-4t+4}=2

\sqrt{(t-1)^2}+\sqrt{(t-2)^2}=2

|t-1|+|t-2|=2

1) t \lt 1

-(t-1)-(t-2)=2

t=\dfrac{1}{2} подходит по ограничениям

Обратная замена:

\sqrt{x+7}=\dfra{1}{2}

x+7=\dfrac{1}{4}

x=-6\dfrac{3}{4}

2) 1 \le x \lt 2

t-1-(t-2)=2

1 \ne 2

Решений нет

3) t \ge 2

t-1+t-2=2

t=\dfrac{5}{2} подходит по ограничениям

Обратная замена:

\sqrt{x+7}=\dfrac{5}{2}

x+7=\dfrac{25}{4}

x=-\dfrac{3}{4}

Ответ: -6\dfrac{3}{4}; -\dfrac{3}{4}

б) Произведём оценку границ интервала:

3^2\lt (\sqrt{14})^2 \lt 4^2

Следовательно, 3\lt \sqrt{14} \lt 4

Левая граница: 3-11\lt \sqrt{14}-11 \lt 4-11

Следовательно, -8\lt \sqrt{14}-11 \lt -7

Правая граница: 3-6\lt \sqrt{14}-11 \lt 4-6

Следовательно, -3\lt \sqrt{14}-11 \lt -2

Следовательно, единственный корень, удовлетворяющий отрезку: x=-6\dfrac{3}{4}

Ответ:-6\dfrac{3}{4}

а) площадь сечения, проходяшего через вершину и диагональ основания - площадь треугольника LMP.

MP является диагональю основания, которое является квадратом со стороной \sqrt{12}, MP=\sqrt{12}\cdot \sqrt2=2\sqrt6

S_{LMP}=\dfrac{1}{2}\cdot MP \cdot LH

Cечением, проходящим через вершину и середины противоположных сторон основания является треугольник LRT.

S_{LRT}=\dfrac{1}{2}\cdot RT \cdot LH

\dfrac{S_{LMP}}{S_{LRT}}=\dfrac{MP}{RT}=\dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{12}}=\sqrt{2}

Что и требовалось доказать.

б) Прямая QP параллельна прямой MN, следовательно, прямая QP параллельна плоскости MLN, следовательно, расстоянием между скрещивающимися прямыми ML и QP является расстояние от прямой QP до плоскости MLN.

R — середина ребра MN, T — середина ребра QP. Следовательно, искомым расстоянием будет являться высота TV треугольника LTR.

Рассмотрим треугольник RLT: RT=MQ=\sqrt{12}.

Рассмотрим треугольник MLN: RL=\sqrt{{ML}^2-{\left(\dfrac{MN}{2}\right)}^2}=\sqrt{(\sqrt{12})^2-\left(\dfrac{\sqrt{12}}{2}\right)^2}=3.

Рассмотрим треугольник LHR: LH=\sqrt{{RL}^2-{\left(\dfrac{MQ}{2}\right)}^2}=\sqrt{3^2-\left(\dfrac{\sqrt{12}}{2}\right)^2}=\sqrt{6}.

Рассмотрим площадь треугольника RLT: S_{RLT}=\dfrac{1}{2} \cdot LH \cdot RT = \dfrac{1}{2} \cdot VT \cdot RL.

VT = \dfrac{LH \cdot RT}{RL}=2\sqrt2.

Ответ: 2\sqrt2

Будем искать решение неравенства при:

\begin{cases} 11x-9 \gt 0\\ 11x-9 \ne 1 \end{cases}

x \in \left(\dfrac{9}{11}; \dfrac{10}{11}\right) \cup \left(\dfrac{10}{11}; +\infty\right)

\left( \log^2_{7}{(11x-9)} + \dfrac{1}{\log^2_{7}{(11x-9)}} \right) -2\left( \log_{7}{(11x-9)}+\dfrac{1}{\log_{7}{(11x-9)}} \right)+2 \le 0

Замена:

\log_{7}{(11x-9)}+\dfrac{1}{\log_{7}{(11x-9)}}=t

Следовательно

\log^2_{7}{(11x-9)} + \dfrac{1}{\log^2_{7}{(11x-9)}} +2=t^2

t^2-2t \le 0

t \in [0;2]

Обратная замена:

0 \le \log_{7}{(11x-9)}+\dfrac{1}{\log_{7}{(11x-9)}} \le 2

Замена: \log_{7}{(11x-9)}=k

0 \le k+\dfrac{1}{k} \le 2

\begin{cases} k+\dfrac{1}{k} \ge 0\\ k+\dfrac{1}{k} \le 2 \end{cases}

\begin{cases} \dfrac{k^2+1}{k} \ge 0\\ \dfrac{(k-1)^2}{k} \le 0 \end{cases}

\begin{cases} k \gt 0\\ k\in \{ 1 \} \end{cases}

Следовательно, k=1

Обратная замена:

\log_{7}{11x-9}=1

11x-9 = 7

x=\dfrac{16}{11}=1\dfrac{5}{11} подходит по ограничениям

Ответ: 1\dfrac{5}{11}

Если n конвейров используются для производства батончиков с нугой, то будет затрачено 5n^2 кг нуги. Тогда (20-n) конвейеров будет использоваться для производства батончиков с нугой и орехами, а нуги будет затрачено 4(20-n)^2.

Введем функцию z=5n^2+4(20-n)^2, которая показывает, сколько нуги будет затрачено всеми конвейерами. Необходимо найти минимум этой функции.

Раскроем скобки и упростим: z=9n^2-160n+1600

Функция представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, следовательно, минимум будет достигаться в вершине.

n_0=\dfrac{160}{18}=8,(8)

Число конвейеров может быть только целым, следовательно, найдем z(8) и z(9).

z(8)=896

z(9)=889

Следовательно, оптимальным будет использовать 9 конвейеров на производстве батончиков с нугой и 11 конвейров на производстве батончиков с нугой и орехами. При этом будет затрачено 889 кг нуги.

а) PH — высота треугольника PQT, TE — диаметр, следовательно угол ERT — прямой.

Следовательно PH\parallel ER.

E — середина PQ, следовательно ER — средняя линяя треугольника PHQ, следовательно RQ=HR.

Треугольник TPQ — равнобедренный, следовательно TH=HQ=2HR.

TR=TH+HR=3HR

Следовательно \dfrac{TR}{RQ}=\dfrac{3HR}{HR}=3, что и требовалось доказать.

б) Пусть PT=PQ=2a, \angle TPQ=\alpha.

Следовательно PE=a=EQ, следовательно PF=2a-11.

Рассмотрим прямоугольный треугольник PEF:\cos \alpha = \dfrac{FP}{PE}=\dfrac{2a-11}{a}.

TR=2RQ, следовательно RQ=3

TQ=TR+RQ=12

По теореме косинусов:

\cos \alpha = \dfrac{TP^2+PQ^2-TQ^2}{2\cdot TP \cdot PQ}

Приравняем косинусы и получим:

\dfrac{4a^2+4a^2-12^2}{8a^2}=\dfrac{2a-11}{a}

\dfrac{a^2-18}{a^2}=\dfrac{2a-11}{a}

a^2-11a+18=0

a_1=2, \space PF=2\cdot 2 -11 \lt 0, не подходит.

a_2=9, \space PF=2\cdot 9 -11 =7, подходит.

\cos \alpha=\dfrac{2a-11}{a}=\dfrac{18-11}{9}=\dfrac{7}{9}

\sin \alpha = \sqrt{1-\cos^2 \alpha}=\dfrac{4\sqrt{2}}{9}

S=\dfrac{1}{2} \cdot TP \cdot PQ \cdot \sin \alpha =72\sqrt 2

Ответ: 72\sqrt 2

Замена: n=2p-3, \space m=x-3

|n||m+n|+2\left| \dfrac{m}{n}\right| + |n|\cdot |m-n| \le 2

n^2 \cdot |\dfrac{m}{n}+1| +2 \left| \dfrac{m}{n} \right| +n^2 \cdot |\dfrac{m}{n}-1| \le 2

Замена: k=\dfrac{m}{n}

n^2 \cdot |k+1| +2|k| +n^2 \cdot |k-1| \le 2

Левая часть уравнения симметрична относительно k, следовательно, необходимо найти такие значения параметра n, при которых неравенство будет иметь единственное решение.

Раскроем модуль.

1) k \in (0; 1]

2n^2+2k-2 \le 0

n^2+k-1 \le 0

k\le 1- n^2

Решение будет единственным при n^2 =1

n=\pm 1

2p-3=\pm 1

p=\dfrac{3 \pm 1}{2}

p=2, \space p=1

2) k \in (1; + \infty)

2n^2 k -2k -2 \le 0

k(n^2-1)\le 1

При n^2-1=0 решение будет при всех k\gt 1, бесконечное количество решений.

При n^2-1 \ne 0 также будет более одного решения.

Ответ: p=2, \space p=1

а) Да, могут: 3 \space 5 \space 6 \space 7 \space 10 \space 11

б) Обозначим наименьшее число за x. Тогда, наибольшее число будет не менее x+12.

По условию: 4x \ge x+12, x \ge 4

Следовательно, сумма 13 чисел не меньше 4+5+...+15+16=130, что больше 113. Следовательно, не могут.

в) Число 1296=2^4 \cdot 3^4

Если на песке написано 2 числа: 48 \cdot 27=1296

Если на песке написано 3 числа: 8 \cdot 18 \cdot 9 = 1296

Если на песке написано 4 числа: 3 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9=1296

Если на песке написано 5 чисел или более, то наименьшее число меньше 5 (т.к. 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720, \space 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 2520)

Следовательно, каждое число не превосходит 12.

Число 1296 имеет делители, не превосходящие 12: 1 \space 2 \space 4 \space 8 \space 3 \space 9 \space 6 \space 12.

Из которых невозможно составить комбинацию, удовлетворяющую заданным условиям.

Следовательно, 2, 3 или 4 числа.