1banner-popap-prof-examsЛМ Профориентация
2banner-popap-newrulesЛМ Новые правила поступления
3banner-popap-last-chance-23-месячный курс Exams
Заданий выполнено0 из 19
Показать предыдущие
  • Задание №1
    Ещё не выполнено
  • Задание №2
    Ещё не выполнено
  • Задание №3
    Ещё не выполнено
  • Задание №4
    Ещё не выполнено
  • Задание №5
    Ещё не выполнено
Показать следующие
Задание №1
Вариант 2
Все задания

Дана прямоугольная трапеция MPQR с основаниями PQ и MR. Известно, что высота трапеции MP равна \sqrt2, боковая сторона QR равна 2, а основание MR равно 2\sqrt2. Найдите диагональ трапеции MQ.

2

Найдите длину вектора \overrightarrow{b} , если \overrightarrow{b}=\dfrac12 \overrightarrow{c} -\overrightarrow{d}, \overrightarrow{c} \: \{6; \, -2 \}; \overrightarrow{d} \{-1; \, 2 \}.

5

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

108

ООО «Шоп тудэй» выпускает хлопчатобумажные дизайнерские шопперы. В среднем из 216 шопперов 24 — бракованные (очень сильно торчат нитки на внутренних швах), остальные — качественные. Найдите вероятность того, что случайно купленный шоппер окажется качественным. Результат округлите до десятых.

0,9

Гимнастка Анастасия тренирует бросок обруча. Вероятность того, что она поймает обруч равна 0,5. Найдите вероятность того, что Анастасия первые 2 раза уронит обруч, а затем 3 раза поймает.

0,03125

Решите уравнение

\log_{2}(4-x)=4

-12

Найдите значение выражения 5 \cos 2\alpha, \sin \alpha = 0,8.

-1,4

На рисунке представлен график функции y=g(x), определенной на интервале (-5; \space 5). Пользуясь графиком, найдите количество точек на интервале [-4; \space 1], в которых производная функции y=g(x) равна нулю.

4

В интернет магазине действует система скидок. Размер скидки определяется по формуле D=k\cdot \dfrac{S_{pok}}{S_{pok}+S_{voz}}\cdot 100\%, где k - коэффициент, равный 0,1; S_{pok} - сумма покупок клиента, S_{voz} - сумма возвращенных покупок. Значение скидки округляется до целого числа процентов.

Найдите сумму покупок Марии Ивановны, если сумма возвращенных ею покупок равна 3250 рублей, а ее скидка составила 8\%.

13000

На заточку 60 пар коньков рабочий катка тратит на 2 часа больше, чем мастер на заточку 93 пар коньков. Известно, что рабочий катка за час затачивает на 19 пар меньше, чем мастер. Сколько пар коньков в час затачивает мастер?

31

На рисунке изображен график функции вида f(x)=ax^2+bx+c, где числа a,b,c— целые. Найдите f(-1).

-2

Найдите точку минимума функции

y=117x-117\ln{(x+117)}+117.

-116

а) Решите уравнение:

1+\cos \left( \dfrac{7\pi}{2} +x \right) \left( 3\tg \left( \dfrac{\pi}{2} + x \right) +2\sin x \right)=4

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ -\dfrac{3\pi}{2}; \space \dfrac{3\pi}{2} \right]

а) ОДЗ:

\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\ne 0

\sin x \ne 0

Воспользуемся формулами приведения:

\sin x (2\sin x -3 \ctg x)=3

2\sin^2 x -3\cos x -3 =0

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

2(1- \cos^2 x)-3\cos x -3=0

2\cos^2 x +3\cos x +1=0

Замена: \cos x =t, \space t \in [-1; \space 1]

2t^2+3t+1=0

t_1=-1

t_2=-\dfrac{1}{2}

Обратная замена:

\cos x =-1 не удовлетворяет условию \sin x \ne 0

\cos x = -\dfrac{1}{2}

x = \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi n, \space n \in \Z

Ответ: x = \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi n, \space n \in \Z

б) Решим при помощи двойного неравенства:

  1. -\dfrac{3\pi}{2}\le \dfrac{2\pi}{3}+2\pi n \le \dfrac{3\pi}{2}, n \in \Z

    -\dfrac{13\pi}{6}\le 2\pi n \le \dfrac{5\pi}{6}, n \in \Z

    -\dfrac{13}{12}\le n \le \dfrac{5}{12}, n \in \Z

    n=-1, x_1=-\dfrac{4\pi}{3}

    n=0, x_2=\dfrac{2\pi}{3}

  2. -\dfrac{3\pi}{2}\le -\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n \le \dfrac{3\pi}{2}, n \in \Z

    -\dfrac{5\pi}{6}\le 2\pi n \le \dfrac{13\pi}{6}, n \in \Z

    -\dfrac{5}{12}\le n \le \dfrac{13}{12}, n \in \Z

    n=0, x_1=-\dfrac{2\pi}{3}

    n=1, x_2=\dfrac{4\pi}{3}

Ответ: -\dfrac{4\pi}{3}; \space -\dfrac{2\pi}{3}; \space \dfrac{2\pi}{3}, \space \dfrac{4\pi}{3}

2 балл Если обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
1 балл Если обоснованно получен верный ответ в пункте а или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов
0 баллов Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Ваш результат за К1: 0 1 2

Рёбра TQ и TT_1 правильной треугольной призмы TQRT_1Q_1R_1 равны 7\sqrt{6} и 7\sqrt{3} соответственно. Точка F — середина ребра QR.

а) Докажите перпендикулярность прямых Q_1R и R_1F.

б) Найдите угол между плоскостью TT_1Q и R_1F.

а) \tg \angle RFR_1 = \dfrac{RR_1}{RF}=\dfrac{7\sqrt{3} \cdot 2}{7\sqrt{6}}=\sqrt{2}

\tg \angle Q_1RR_1=\dfrac{Q_1R}{QQ_1}=\sqrt{2}

Следовательно \angle RFR_1 = \angle Q_1RR_1

\angle RFR_1= \angle FR_1Q_1 (как накрест лежащие при пересечении секущей FR_1 двух параллельных прямых Q_1R_1 и QR)

\angle QR_1R = \angle Q_1R_1F + \angle FR_1R = \angle Q_1RR_1 + \angle FR_1R = 90\degree (т.к. \angle RFR_1 = \angle Q_1RR_1)

Пусть Q_1R пересекает R_1F в точке O.

Рассмотрим треугольник R_1RO:

R_1OR=90, так как сумма двух других его углов равна 90 градусов. (сумма углов в треугольнике равна 180 градусов).

Следовательно Q_1R \perp R_1F

Что и требовалось доказать.

б) Пусть F_1 — середина Q_1R_1

Следовательно угол между прямой R_1F и плоскостью TT_1Q равен углу между этой плоскостью и прямой QF_1 (т.к. R_1F \parallel QF_1).

Пусть F_1E\perp T_1Q_1, следовательно F_1E \perp TT_1Q_1Q (т.к. F_1E \perp T_1Q_1, F_1E \perp QQ_1)

Искомый угол: F_1QE

F_1Q=\sqrt{QQ_1^2+Q_1F_1^2}=\dfrac{21\sqrt{2}}{2}

F_1E=F_1Q_1\cdot \sin 60\degree=\dfrac{21\sqrt{2}}{4}

Следовательно EQ_1F_1=30\degree

3 балла

Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б

2 балл Если получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
1 балл Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, или при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
0 баллов Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Ваш результат за К1: 0 1 2 3

Решите неравенство:

169^{x-7}-13^{x-7}(25-x^2)-25x^2\ge 0

169^{x-7}-25\cdot 13^{x-7}+x^2\cdot 13^{x-7}-25x^2\ge 0

13^{x-7}(13^{x-7}-25)+x^2(13^{x-7}-25)\ge 0

(13^{x-7}-25)(13^{x-7}+x^2)\ge 0

Заметим, что выражение 13^{x-7}+x^2 всегда положительно.

13^{x-7}-25 \ge 0

x-7 \ge \log_{13}{25}

x \ge 7+\log_{13}{25}

Ответ: [7+\log_{13}{25}; +\infty)

2 балл Если обоснованно получен верный ответ
1 балл Если обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
0 баллов Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Ваш результат за К1: 0 1 2

Александр Николаевич положил в банк 700 000 рублей под некоторый процент годовых. В конце первого и третьего годов после начисления процентов он снял по 70000 рублей. В итоге в начале четвертого года его вклад стал равен 777000 рублей. Найдите процент, под который Александр Николаевич положил деньги в банк?

Введем обозначения: х – процентная ставка, S – положенная сумма на счет, S_n – сумма на счете в конце каждого года, B – сумма, которая была снята в конце 1-го и 3-го года, , А – сумма на счете в начале 4 года.

Введем обозначения: x — процентная ставка, q=1+\dfrac{x}{100}.

В конце первого года: S_1=Sq

После снятия: S_1=Sq-B

В конце второго года: S_2=(Sq-B)q

В конце третьего года: S_3=((Sq-B)q)q=(Sq-B)q^2)

После снятия S_3=((Sq-B)q)q=(Sq-B)q^2-B

Эта сумма будет равна сумме на начало четвертого года, т.е. А=777000

Составим уравнение:

(Sq-B)q^2-B=A

(700000q-70000)\cdot q^2-70000=777000

100q^3-10q^2-121=0

100q^3-110q^2+100q^2-110q+110q-121=0

100q^3+100q^2+110q-110q^2-110q-121=0

10q(10q^2+10q+11)-11(10q^2+10q+11)=0

(10q^2+10q+11)(10q-11)=0

q=1,1

Следовательно процентная ставка равна 10\%

Ответ: 10

2 балл Если обоснованно получен верный ответ
1 балл Если Верно построена математическая модель
0 баллов Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Ваш результат за К1: 0 1 2

Окружность радиуса r вписана в прямоугольный треугольник RPS так, что SE:TP=2:1, RE:ES=3:2, где точки T, E, F являются точками касания окружности сторон RP, RS и PS соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника RPS в 12 раз больше радиуса вписанной окружности.

б) Найдите площадь треугольника TEF, если радиус окружности r равен \sqrt2.

а) Треугольник RPS - прямоугольный.

TOFP - квадрат (т.к. \angle T = \angle F = \angle P = 90^{\circ}, \space TO=OF=r, следовательно TP=PF=r.

\dfrac{SE}{TP} =\dfrac{2}{1}, SE=2TP=2r

\dfrac{RE}{SE} =\dfrac{3}{2}, RE=\dfrac{3}{2} SE=3r

Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны: RT=RE, SE=SF, PF=PT.

RT=RE=3r

SE=ST=2r=

Периметр: RS+SP+PR=3r+2r+2r+r+r+3r=12r

Что и требовалось доказать.

б) S_{\triangle PRS} = \dfrac{1}{2} \cdot RP \cdot PS = 12

S_{\triangle TPF} = \dfrac{1}{2} \cdot PF \cdot PT = 1

\sin R = \dfrac{PR}{RS} = \dfrac{3}{5}

S_{\triangle TRE} = \dfrac{1}{2} \cdot RT \cdot RE \cdot \sin R = \dfrac{27}{5}

\sin S = \dfrac{PR}{RS}=\dfrac{4}{5}

S_{\triangle FES} = \dfrac{1}{2} \cdot ES \cdot SF \cdot \sin S = \dfrac{16}{5}

S_{\triangle TEF} = S_{\triangle RPS} - S_{\triangle PTF} - S_{\triangle RTE} - S_{\triangle ESF} = \dfrac{12}{5}=2,4

3 балла

Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б

2 балл Если получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
1 балл Если имеется верное доказательство утверждения пункта а, или при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
0 баллов Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Ваш результат за К1: 0 1 2 3

Найдите все значения параметра b, для каждого из которых множество решений неравенства

\dfrac{2b-(b^2-5b+6) \sin x +3}{\cos^2 x +b^2+0,5} \lt 2

содержит отрезок \left[ \dfrac{\pi}{6}; \space \pi \right].

Знаменатель левой части неравенства всегда положителен, следовательно, перейдем к равносильному неравенству:

2b-(b^2-5b+6) \sin x +3 \lt 2\cos^2 x +2b^2+1

2 \sin^2 x - (b^2 -5b+6) \sin x -2b^2 +2b \lt 0

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок [ \dfrac{\pi}{6}; \space \pi] синус должен принимать значения [0; \space1].

Пусть \sin x = t, \space t \in [0; \space 1]

Введем функцию: f(t)=2t^2-(b^2-5b+6)t-2b^2+2b

Для того, чтобы множество решений неравенства f(t)\lt 0содержало отрезок [0;\space 1] необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия f(0) \lt 0 и f(1) \lt 0

\begin{cases} -2b^2 +2b \lt 0;\\ 2-(b^2-5b+6)-2b^2+2b\lt 0. \end{cases}

\begin{cases} 2b(b-1) \gt 0;\\ 3b^2-7b+4\gt 0. \end{cases}

\begin{cases} 2b(b-1) \gt 0;\\ 3(b-1) (b-\frac{4}{3})\gt 0. \end{cases}

\begin{cases} \left[ \begin{aligned} b \lt 0\\ b \gt 1 \end{aligned} \right.;\\ \left[ \begin{aligned} b \lt 1\\ b \gt \frac{4}{3} \end{aligned} \right.; \end{cases}

b \in (-\infty ; \space 0) \cup (\frac{4}{3}; +\infty )

Ответ: (-\infty ; \space 0) \cup (\frac{4}{3}; +\infty )

4 балла

Если обоснованно получен верный ответ

3 балла

Если с помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но или в ответ включены также и одно-два неверных значения; или решение недостаточно обосновано

2 балл Если с помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра
1 балл Если задача сведена к исследованию
0 баллов Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Ваш результат за К1: 0 1 2 3 4

Известно, что число a равно 4^{3211}, а число b равно 7^{1123}.

а) Найдите, чему равна последняя цифра числа c, равного сумме числе a и b.

б) Найдите, чему равен остаток от деления числа b на 5.

в) Найдите, чему равен остаток от деления числа a на 11.

а) Последние цифры чисел 4^n повторяются через каждые 2 шага (например, 4^1=4, \space 4^2=16, \space 4^3=64, \space 4^4=256 и тд.). Таким образом, последняя цифра числа 4^{3211} будет равна последней цифре числа 4^1=4

Последние цифры чисел 7^n повторяются через каждые 4 шага (например, 7^1=7, \space 7^2=49, \space 7^3=343, \space 7^4=2401, \space 7^5=16807 и тд.). Таким образом, последняя цифра числа 7^{1123} будет равна последней цифре числа 7^3=343.

Следовательно последняя цифра числа a+b равна 4+3=7.

б) Остатки от деления чисел вида 7^n на 5 повторяются каждые 4 шага. Следовательно остаток от деления 7^{1123}будет равен остатку от деления 7^3 на 5, что равно 3 потому, что 1123=280\cdot4+3.

в) Остатки от деления числе вида 4^n на 11 также повторяются через каждые 5 шагов. Следовательно остаток от деления числа 4^ {3211} на 11 равен остатку от деления числа 4^1 (или 4^6) на 11, что равно 4 т.к. 3211=642\cdot5+1.

Ответ: а) 7, б) 3, в) 4.

4 балла

Если обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в

3 балла

Если обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б

2 балл Если обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б или обоснованно получен верный ответ в пункте в
1 балл Если обоснованно получен верный ответ в пункте а или б
0 баллов Если решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Ваш результат за К1: 0 1 2 3 4