Первый признак равенства треугольников
Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.
Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.
Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, у которых AC = A1C1, AB = A1B1, ∠A = ∠A1.
Докажите, что △ABC = △A1B1C1.
Доказательство:
При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.
Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.
Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.
B1C1 = BC, следовательно, △ABC совмещается с △A1B1C
Теорема доказана.
Познавайте математику вместе с нашими лучшими преподавателями на курсах по математике для учеников с 1 до 11 класса!
Второй признак равенства треугольников
Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, у которых:
AC = A1C1, ∠A = ∠A1, ∠C = ∠C1.
Докажите, что △ABC = △A1B1C1.
Доказательство:
Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.
Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.
AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.
CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.
Вершина B совпадает с вершиной B1.
Если АВ совмещается с А1В1, ВС совмещается с В1С1, то △ABC совмещается с △A1B1C1, значит, △ABC = △A1B1C1 .
Теорема доказана.
Пройдите тест и узнайте, какие темы отделяют от пятёрки по математике
Добро пожаловать в школу магии.
О нет! Мальчик-молния случайно попал в школьные часы. Теперь они отстают. Мы все можем задержаться в школе
Жми на стрелки сверху, чтобы путешествовать в истории→
Одна ученица когда-то была в школьной кладовке и видела там схему часов
Но в кладовку просто так не попадёшь→
Реши два примера от волшебной статуи на входе в кладовку
Схема у нас!
Деталь можно сделать из проволоки и формы для заливки металла. Найди их на картинке
Теперь осталось взять инструменты у садовника! Он обменяет их на волшебные бобы для его сада
Для починки часов нужны: молоток, отвертка и плоскогубцы.
Ты можешь либо одолжить у садовника набор, либо отдельные инструменты, либо и то, и другое. Какое минимальное количество волшебных бобов ты можешь отдать садовнику?
Деталь имеет форму прямоугольника со сторонами 5 см и 12 см. Найди периметр и площадь детали, чтобы посчитать, сколько проволоки для неё понадобится
Периметр прямоугольника равен
Площадь прямоугольника равна
Мальчик-молния выплавил деталь, часы должны работать! Но они почему-то не идут... Кажется, одной шестерёнки не хватает — она куда-то упала
В коробке, шкатулке, ящике и банке находятся пыльца, волчий корень, золото и шестерёнка. Шестерёнка и пыльца не в коробке, ёмкость с волчьим корнем стоит между ящиком и ёмкостью с золотом, в банке не волчий корень и не шестерёнка. Шкатулка стоит около банки и ёмкостью с пыльцой. В какой ёмкости что находится?
Соедини ёмкости с содержимым на картинках ниже
Ура, мы вставили последнюю шестеренку, и часы пошли! Сегодня уроки закончатся вовремя. Спасибо тебе за помощь!
Дальше узнаешь свои результаты →
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Прокачивай знания на курсах математики.
-
Выбирай из 1200+ репетиторов по математике.
Записывайся на бесплатные курсы для детей.
Третий признак равенства треугольников
Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, у которых:
AC = A1C1,
AB = A1B1,
CB = C1B1.
Докажите, что △ABC = △A1B1C1.
Доказательство 3 признака равенства треугольников:
Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.
AC = A1C1, BC = B1C1, то △A1C1С и △B1C1С — равнобедренные.
∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника), значит,
∠A1СB1 = ∠A1C1B1.
AC = A1C1, BC = B1C1.
∠C = ∠C1, тогда △ABC = △A1B1C1 (по первому признаку равенства треугольников).
Теорема доказана.
Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.
Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.
- Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
- Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
- Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
- Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
- Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.
