b733e4
Проверьте знания по математике бесплатно
Узнать бесплатно
Modal window id: popup-shopmath

График линейной функции, его свойства и формулы

График линейной функции, его свойства и формулы
640.7K

Ножки стула похожи на параллельные прямые на графике, а линии паутины — на перекрещенные. Эти ассоциации пригодятся нам, чтобы разобраться с линейной функцией. Поехали!

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

  • Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

  • Словесный способ.

  • Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Modal window id: popup-mathcomix

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х - 2. Значит:

  • если х = 0, то у = -2;

  • если х = 2, то у = -1;

  • если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

х 0 2 4
y -2 -1 0

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Пример графика линейной функции

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Функция Коэффициент k Коэффициент b
y = 2x + 8 k = 2 b = 8
y = −x + 3 k = −1 b = 3
y = 1/8x − 1 k = 1/8 b = −1
y = 0,2x k = 0,2 b = 0

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Получи больше пользы от Skysmart:

Свойства линейной функции

 
  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел.

  2. Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

  3. График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

    Зависимость положения прямой от значений коэффициентов

  4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

  5. Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

    b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

    b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

    b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

    b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

  6. Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

  7. График функции пересекает оси координат:

    ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

    ось ординат OY — в точке (0; b).

  8. x = −b/k — является нулем функции.

  9. Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

    Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

  10. Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k < 0.

  11. При k > 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

    При k < 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−b/k; +∞) и положительные значения на промежутке (−∞; −b/k).

  12. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением OX. Поэтому k называют угловым коэффициентом.

    Если k > 0, то этот угол острый, если k < 0 — тупой, если k = 0, то прямая совпадает с осью OX.

Угловой коэффициент линейной функции

Есть два частных случая линейной функции:

  • Если b = 0, то уравнение примет вид y = kx. Такая функция называется прямой пропорциональностью. График — прямая, которая проходит через начало координат.

График прямой пропорциональности

  • Если k = 0, то уравнение примет вид y = b. График — прямая, которая параллельна оси OX и проходит через точку (0; b).

График функции y = b

Modal window id: popup-skysmartbox

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

Построение графика линейной функции

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

  • если k > 0, то график наклонен вправо;

  • если k < 0, то график наклонен влево.

Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:

  • если b > 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

  • если b < 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вниз вдоль оси OY.

Начертим три графика функции:

  • y = 2x + 3;

  • y = 1/2x + 3;

  • y = x + 3.

Анализ графика линейной функции

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь рассмотрим графики функций:

  • y = −2x + 3;

  • y = −1/2x + 3;

  • y = −x + 3.

Анализ графика линейной функции №2

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Рассмотрим графики функций:

  • y = 2x + 3;

  • y = 2x;

  • y = 2x − 2.

Анализ графика линейной функции №3

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

  • график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);

  • график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);

  • график функции y = 2x - 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k < 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

График линейной функции при k < 0 и b > 0

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

График линейной функции при k  ssmArticle> 0 и b > 0

Если k > 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

График линейной функции при k  ssmArticle> 0 и b < 0

Если k < 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

График линейной функции при k < 0 и b < 0

Если k = 0, то функция y = kx + b преобразуется в функцию y = b. В этом случае ординаты всех точек графика функции равны b. А график выглядит так:

График линейной функции при k = 0

Если b = 0, то график функции y = kx проходит через начало координат. Так выглядит график прямой пропорциональности:

График линейной функции при b = 0

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

График уравнения x = 3

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 = k2.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k1x + b1 перпендикулярен графику функции y = k2x + b2, если k1k2 = −1 или k1 = −1/k2.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

  • С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

    Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

  • С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

    Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Точки пересечения графика функции с осями координат

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

Как решаем:

  • В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

    Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

    Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

    2 = -4(-3) + b

    b = -10

  • Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x - 10

    Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

    Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Решение задач на линейную функцию

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Как решаем:

 
  1. Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

    Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

  2. Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

    уравнение прямой

  3. Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

    Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x - 2.

 
Открыть диалоговое окно с формой по клику
Бесплатный вебинар
Бесплатный вебинар
Бесплатный вебинар
Проверьте знания по математике бесплатно
  • Оставьте заявку на бесплатное тестирование
  • Приходите на тестирование вместе с ребёнком
  • Получите оценку знаний и конкретные шаги, чтобы прокачать их
Шаг 1 из 2
Шаг 1 из 2
Шаг 2 из 2