Доказательство теоремы синусов
Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:
Формула теоремы синусов:
Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.
Из этой формулы мы получаем два соотношения:
На b сокращаем, воспользуемся правилом пропорции и получим:
Из этих двух соотношений получаем:
Теорема синусов для треугольника доказана.
Эта теорема пригодится, чтобы найти:
Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.
Доказательство следствия из теоремы синусов
У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.
Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:
Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:
Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.
Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.
1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.
Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.
Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.
Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.
BA1 = 2R, где R — радиус окружности
Следовательно:
Для остроугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.
Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.
Следовательно, ∠А1 = 180° - α.
Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:
Также известно, что sin(180° - α) = sinα.
В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:
α = 2R sin (180° - α) = 2R sinα
Следовательно:
Для тупоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Часто используемые тупые углы:
3. Угол ∠А = 90°.
В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.
Следовательно:
Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Получи больше пользы от Skysmart:
-
Подготовься к ОГЭ на пятёрку.
-
Подготовься к ЕГЭ по 3 предметам на 240+ баллов с гарантией.
Записывайся на бесплатные курсы для детей.
Примеры решения задач
Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.
Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.
Как решаем:
Согласно теореме о сумме углов треугольника:
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠B = 180° - 45° - 15° = 120°
Сторону AC найдем по теореме синусов:
Ответ: AC = 12.
Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см соответственно. Найти угол, который расположен напротив данного катета.
Как решаем:
Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:
Следовательно:
Значит
Ответ: угол составляет примерно 53,1°.
Запоминаем
Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:
